統計學的標準差匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇統計學的標準差范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

摘 要：平均差優于標準差這一觀點一直以來都存在一定支持者，但仔細分析不難發現這一觀點根本不能成立。從計算方式、數學關系、敏感性和正態分布下的換算公式推導四個方面對標準差與平均差展開研究，可以得出以下結論：第一，標準差與平均差有著統一公式和數學關系。第二，平均差計算過程有低估變異性問題。第三，平均差難于動搖標準差在統計學中的重要地位。

關鍵詞 ：統計學；平均差；標準差

中圖分類號：O212文獻標識碼：A文章編號：1673-260X（2015）08-0003-02

1 問題的提出

標準差與平均差都是人為構造出來，使用統計學手段，反映統計樣本或總體的離散程度的統計指標。一般來說，標準差在實際應用中要比后者廣泛一些。多數國內統計學教材在編寫時對兩者采取了平行介紹的方式進行處理，并從實用角度出發，偏重介紹應用更廣的標準差，并認為平均差計算存在不便。對此，十余年來一直有學者提出反駁意見，認為平均差優于標準差，相關論文和著作較多但觀點較為相似，試總結如下：

（1）認為在數字計算時，平均差計算不存在乘方和開方計算，計算量低于標準差，由此認為平均差更簡便，并使用例題舉證；

（2）從自己的實際工作經驗出發，發現標準差計算結果往往大于平均差，由此提出觀點，認為標準差存在高估變異性的問題，并使用例題舉證；

（3）從測量離差一般水平的思路出發，進而認為標準差是平均差的代替，所以標準差不如平均差；

（4）認為在高性能計算機大量普及的情況下，平均差即使有計算不便，但兩者在計算上的差異是可以被忽略的，使用哪種區別不大。

由以上觀點，進一步得出了平均差優于標準差，并且應當大力推廣平均差的結論。

2 平均差優于標準差的觀點不能成立

對于此種觀點，筆者作為一名從事高校統計學教學的教師，委實不敢茍同，現將以上所列論點進行逐條分析：

（1）對于平均差計算更簡便的問題，上述論證只能說明平均差在進行具體數字的手工算術計算時計算量要小于標準差，而對代數計算只字不提，對于具體數字來說，絕對值計算不需要討論正負問題，當然計算量要小，但對于不涉及具體數字的代數計算來說，絕對值的討論當然要復雜一些。平均差計算更簡便的觀點只在算術領域成立，在代數領域難以成立。

（2）標準差計算結果往往大于平均差是一個實際計算觀察的結果，而且也確實符合實際情況，后面筆者也會對此進行代數證明。但是標準差計算結果大于等于平均差這一現象其實無法得出標準差存在高估變異性的問題的結論，只能說明兩者對變異性的測量存在差異，到底是標準差高估了變異性還是平均差低估了變異性，這一現象是不足以說明的。

（3）與其說是標準差代替了平均差，不如說是由于標準差的優點獲得了廣泛使用，變異指標的意義在于衡量分布的變異性，并不是說越接近離差的一般水平變異指標就越好。

（4）即使在高性能計算機大量普及的情況下，平均差與標準差的差異也是不能忽視的。首先是標準差函數可導，平均差函數不可導，這一區別導致兩者在微積分處理上存在巨大差異。其次，標準差對應的是二階矩，對所有平方可積的函數適用，平均差對應的是另一種范數，其適用函數的空間不同于平方可積函數的空間。而平方可積函數的空間具有許多更好的性質。平均差與標準差函數的可導性和可積空間上有很大差異，沒有了導數存在且連續的標準差，大量的數學推導都無法展開，所以建立在標準差基礎上的數理統計體系很難使用平均差代替。因此平均差與標準差的差異不光在算術計算上，更重要的是在數理推導上的差異，而后者與計算機性能的高低并沒有太大關系。

綜上所述，認為平均差優于標準差的觀點無法成立。

3 平均差與標準差的數理關系分析

3。1 平均差與標準差的計算方式的聯系

平均差和標準差的計算方式都是以離差概念為基礎的，離差是單項數值與平均值之間的差，公式可寫作，離差是一個向量，其絕對取值代表了單項數值偏離平均值的程度，正負號代表了單項數值偏離平均值的方向，如果想要構造一個衡量總體變異性的統計指標，使用離差來作為構造的基礎是很自然的選擇，但是也很容易證明，由于離差取值的方向性，其數學期望恒為零。因此，取消離差的正負號后再來構造統計指標才有意義，從這個角度出發，我們可以構造出方差和標準差兩種指標，即和。前者是離差平方的數學期望，后者是離差絕對值的數學期望，而方差本身計算出來的指標要比統計量高一階，所以可以對其求平方根進行標準化，就得到了標準差。由此可見，平均差和標準差的計算方式存在著密切聯系，其中，平均差的計算公式可以轉化為，而標準差的計算公式可以轉化為，所以，平均差和標準差的計算公式可以統一為：，其中平均差為該統計量取一階的結果，標準差為該統計量取二階的結果。因此，平均差和標準差應當看作同源、同類但不同階的統計量，不存在誰是誰的替代品的問題。

3。2 平均差與標準差的相互關系

在得出平均差與標準差的一般公式之后，我們可以看出兩者的計算過程存在比較緊密的關聯，但兩者呈現的數量關系卻無法直接顯現，前面提到，實際數據觀察似乎支持標準差大于等于平均差的觀點，但直接對兩者進行相減的話，絕對值號又影響了進一步的討論。但是，既然平均差和標準差都大于等于零，如果可以證明標準差的平方即方差與平均差的平方之差大于等于零，其實也就證明了標準差大于等于平均差。計算如下：，所以標準差確實大于等于平均差，其中只有在離差絕對值的方差等于零時兩者相等。但這一結果不能說明標準差高估了變異性，前面的證明可以看出，方差之中包含了平均差包含的所有用離差反映的變量值的變異性信息之余，還包含了離差本身的變異性信息，進一步來說，既然方差可以被分解為變量值的平均差的平方與離差絕對值的方差之和，那么離差絕對值的方差也可以被分解為離差平均差的平方與離差的離差絕對值的方差之和，由此可以形成一個關于平均差的無窮級數，而這一無窮級數之和收斂于變量值的方差。由此可以看出，其實方差包含了變量值各級離差的平均差所反映的所有變異性，而且這些變異性之間不存在重復計算問題，而標準差正是方差的標準化，所以，并非是標準差高估了變量的變異性，而是平均差只測量出了變量值包含的所有變異性的一部分。

3。3 平均差函數與標準差函數對變異性敏感程度的比較

如果從平均數的角度觀察平均差函數與標準差函數，不難發現其中的一些區別，平均差函數可做如下變化：A.D.=，可以看出平均差函數即離差的簡單算術平均數，離差的大小并不影響其權重，所以對于平均差來說，極端變量值的變異性被同等看待了。而標準差可做如下變化：，可以看出根號內的公式可以看成以離差本身大小為權重的加權算術平均數，所以越極端的變量值會被給予越多的關注，這一點更符合人們對于數據變異性的直接感覺。可以直觀的構造如下兩組數說明這種區別：1，1，0，-1，-1和2，0，0，0，-2，兩者擁有相同的均值0和平均差0。8，但直觀感覺前者的變異性較小，如果使用標準差，則前者標準差為0。89，后者為1。26，就有效的衡量出了這種變異性。

3。4 在正態分布下平均差與標準差的取值討論

如假設X服從正態分布，，則有，由此可以看出，在正態分布下，平均差與標準差的取值存在穩定的倍數關系。同理其實不難證明，在參數確定的特定分布下，平均差與標準差的取值都存在該分布特有的穩定關系。至于是否可以在具體數字計算時結合這種穩定關系，使用平均差估算標準差，還有待后續研究證明其可靠性。

4 總結

由以上分析可見，標準差與平均差是有著統一公式和數學關系的兩種變異指標，并不存在排他性問題，其中平均差在具體數字計算時有一定優勢，但不利于代數運算和數學推導，同時平均差在計算變異性時存在信息損失低估變異性的問題，因此難于動搖標準差在統計學中的重要地位。

參考文獻：

（1）韓兆洲，楊林濤。極差、平均差和標準差之間測度關系研究[J]。統計與信息論壇，2008（04）。

（2）桂文林，伍超標。標準差和平均差的內在關系及應用研究[J]。數理統計與管理，2005（02）。

篇（2）

在統計學及其相關課程中，有關差異指標（也稱“差異量數”，下同）的教學要點有二：一是差異指標的意義，二是差異指標的種類。前者的要義可概括為：綜合反映總體（或樣本）各個單位標志值（或數據）的差異程度（或離中趨勢、離散程度等）；后者的意思是說：差異指標的種類很多，它們各有自己的計算方法和特點。如果我們把后者的這種不同種類、特點也統稱做“差異”的話，那么，我們在統計學有關學科的教學過程中，就應把這兩個方面的“差異”向學生交代清楚，使他們對差異指標之“差異”有個客觀、全面而準確的理解，從而避免由于理解的片面性得出錯誤的判斷。

一、正確理解不同差異指標之間的“差異”

人教版初中代數第三冊教師教學用書第171頁有這樣一段話：“在表示各數據與其平均數的偏離程度時，……為什么對各數據與其平均數的差不取其絕對值，而要將它們平方，……這主要是因為在很多問題里含有絕對值的式子不便于計算，且在衡量一組數據波動大小的‘功能’上，方差更強些。例如有兩組數據：

甲 9 ，1 ，0 ，－1 ，－9；

乙 6 ，4 ，0 ，－4 ，－6。

從直觀上看，甲組數據的波動要比乙組數據大些，但它們的平均差都是4，區分不出其波動大小；而甲組數據的方差是32.8，乙組數據的方差是20.8，用方差可將它們的波動大小區別開來。”

其實，上述的一段描述是在告訴讀者這樣一個命題：在平均差與方差（或標準差）之間，方差（或標準差）表示數據波動大小的“功能”強于平均差。

這個命題是真的么？請看下一個例子：

在一次射擊比賽中，甲乙兩射手成績記錄如下：

甲 9 ，7 ，9 ，9 ，7 ，7 ，7 ，9；

乙 6 ，8 ，8 ，8 ，10 ，8 ，8 ，8 。

計算他們的平均值、標準差、平均差（如表）。

在這里，兩組數據的標準差都是1，區分不出波動的大小，但甲組的平均差為1，乙組的平均差為0.5，我們通過平均差得出結論：甲組成績的波動性大于乙組的波動性。于是又否定了上述命題，并得到一個于完全相反的命題（敘述從略）。

顯然，若綜合以上兩種（假）命題，取其正確部分的話，那么，正確命題應為：

平均差和標準差（或方差），在所反映的總體（或樣本）單位標志值的差異性上具有一致性，但區分這種差異大小的“功能”誰更強些不是絕對的。

那么，為什么人們在學習、應用統計學的多個差異指標時更多關注的是標準差呢？主要有以下理由：（1）反映靈敏，它隨任何一個數據的變化而變化；（2）嚴密確定，一組數據的標準差有確定的值；（3）適合代數運算，可以將幾個標準差合成一個總的標準差；（4）可以用樣本數據推斷總體差異量；（5）在計算其它統計量時，如差異系數、相關系數、標準分數等，都需要標準差。

二、正確理解同一個差異指標值在實際背景中釋義的“差異”

某社出版的數學輔導教材有題如下：

甲乙兩組學生各有8人，參加某門學科測試成績如表2（100分制），請比較兩組學生的成績哪組較好一些。

因為 ，甲組成績的波動比乙組小一些，所以甲組學生的成績較好一些。

筆者認為：標準答案制訂者是建立在“組內學生之間學習差異越小，成績越好”的教育教學理念下做出這一判斷及結論的。要知道，在新課程的教育教學理念下是允許學生與學生之間存在差異的，倡導學生在學習各門課程時敢于“冒尖”、創新，不搞“一刀切”，要讓學生在全面發展的基礎上培養個人特長。在評價學生時，以多元智能理論為依據，多方法、多手段、多尺度地考查學生的學習效果。基于此，我們又可以認為乙組的成績好于甲組。甚至，倘若再對照例題中兩組學生的其他指標情況，比如優秀率：若規定90分以上為優秀，則兩組持平；若規定85分以上為優秀，則甲組為1/8，乙組為1/2，也會得出乙組的成績好于甲組的結論。

篇（3）

0 引言

高等學校英語應用能力考試是高職高專公共英語唯一的全國性考試，其前身是普通高等專科英語考試，是國家為檢測和提高普通高等專科英語課程教學質量而建立的，1997年開始試運行，1998年正式投入使用，距今已有16年。高等學校英語應用能力考試現已被高職院校普遍采用作為評價師生教學效果的手段。考試的結果通常以考試成績暨分數體現。在高職公共英語課程教學研究中，對考試成績進行統計分析已有涉及，但更多的也只涉及到某一方面，如求出平均分。這些分析不能準確全面的反映學生的考試情況，也就不能公正對師生的教學效果進行評價，這就需要我們對考試成績科學的統計分析。本文將使用統計學中的集中量數、差異量數及標準分對我校學生高等學校英語應用能力考試測試成績進行統計分析，以期通過學生的測試成績來全面科學的了解測試結果，給教師的教學效果和學生的學習效果做出公正的評價。

1 集中量數

集中量數是代表一組數據典型水平或集中趨勢的量（王孝玲，2001）。它主要有兩個作用：第一，它是一組數據的代表值，用來表示這組數據的典型情況。第二，組間的集中量數是可以比較的，通過比較可以判斷組間數據的差別。集中量數主要三種形式，它們分別是平均數、中數和眾數。平均數是教師對考試成績普遍采用的一種統計分析方法。平均數最嚴密也最易于理解，因此應用也最廣。但平均數存在著很多的不足，比如：平均數的典型性容易受極端數據的影響。如果一個班的分數之間差距很大，有的分數很高有的分數很低，這種情況下算出的平均數就不具有典型性。基于此，我們需要采用其它的統計方法，這就是中數和眾數。中數又名中位數，是按順序排列在一起的一組數據中居于中間位置的數，即在這組數據中，有一半的數據比它大，有一半的數據比它小。眾數是一組數據中出現次數最多的數。通過平均數、中數和眾數的三者結合，可以為我們的考試成績提供更全面的信息。

表1

從表1我們可以看出供電1和供電2兩個班的高等學校英語應用能力考試成績平均分都是73。如果僅從平均分這個角度來比較兩個班的考試成績，我們就會得出兩個班的考試成績的集中趨勢的量是一樣的。但我們通過統計分析發現供電1和供電2考試成績的中數和眾數是不一樣的。之前我們講了，平均數是容易受極端數據的影響，但是中數是不會受到極端數據的影響。從表1我們可以看出供電1有兩位學生的考試成績低于45，屬于極端數據，所以此組的集中趨勢的量應該用中數來表示即76，供電2組的集中趨勢的量可以用平均數來表示即73。

相對而言，平均數、中數和眾數是三個較為常見的集中量數，都能在一定程度上反映數據的集中趨勢，所以具有內在的關聯性。當平均數、中數和眾數三者相等時，這組數據即成正態分布，數據的次數分布圖就會完全對稱，三個數數軸上重合為一點。當平均數、中數和眾數三者不相等時，具體地說，當平均數>中數>眾數，叫作正偏態。當考試成績出現正偏態時，說明試題太難。當平均數

2 差異量數

描述一組數據的特征僅用集中量數是不夠的。我們在研究一組數據的特征時，不但要了解其典型的情況，而且還要了解特殊情況（韓寶成，2000）。例如在比較同一個年級的幾個教學班高等學校英語應用能力考試成績時，只比較集中量數是不夠的，還要對它們的分散程度進行比較。在統計學中，我們用差異量數來描述數據分散程度。常用的差異量數包括標準差和全距。標準差是總體各單位標準值與其平均數離差平方的算術平均數的平方根。它反映組內個體間的分散程度。標準差的公式如下：

σ=■

表2

從表2中我們可以看出這10個班的高等學校英語應用能力考試成績平均分比較接近。特別是應電1和供電2，應電2和計算1。它們的平均分依次差0.01、0.18。從平分來看應電1和供電2不分伯仲，應電2要比計算1要稍微好點。但從標準差來看供電2的分散程度要比應電1的小，說明供電2的考試成績相對集中，故供電2的成績要比應電1的成績好。從全距來看，應電1的全距是49，而供電2的全距是36，這也說明供電2的考試成績相對集中。應電2和計算1的情況也類似。

平均數在一組數據中典型性程度高低也取決于這組數據的標準差和全距，如果標準差和全距小，說平均數的典型性程度高，反之則小。

3 標準分

考生在考試后，按照評分標準對其作答反應直接評出來的分數，叫原始分。原始分反映 了考生答對題目的個數，或作答正確的程度。但是，原始分一般不能直接反映出考生間差異 狀況，不能刻劃出考生相互比較后所處的地位。標準分是一種由原始分推導出來的相對地位量數，它是用來說明原始分在所屬的那批分數中的相對位置的。標準分是以標準差為單位來表示某一分數與平均數的差。標準分的公式是Z=（X-X_bar）/S，式中X為原始分數，X_bar為原始分的平均數，S為原始分的標準差。

表3

將原始分轉換成標準分之后，我們就可以很直觀的看出某個學生的考試成績在整個班級中所處的位置。

把原始分轉換成標準分之后，標準分成了一個抽象的數據，不受原測量單位的影響（李躍平，2003）。這樣我們就可以將某個學生在不同時間參加的考試進比較，不同科目之間的成績也可以用來進行比較，這是原始分所不能的。

4 結束語

通過把學生的高等學校英語應用能力考試成績進行統計分析，算出反映數據集中趨勢的集中量數、反映數據分散程度的差異量數以及標準分，才能是考試成績客觀全面的反映師生的教學情況，幫助師生改進教學，實現既定教學目標。

【參考文獻】

篇（4）

中圖分類號：G445 文獻標識碼：A

Correlation of Student Grades， Attendance and Seating Distribution

――Based on Spatial Statistical Analysis Methods

ZHANG Zhen， KONG Li， XU Xin

（College of Agronomy and Biotechnology， Southwest University， Chongqing 400715）

Abstract Based on spatial statistic analysis， with the help of Geoda， the spatial distribution of the classroom and exam data manifest a statistical relationship which exists between grades， attendance and the distribution of seating. A significant spatial correlation is found that students who have high attendance tend to sit in the front row， and students who score higher tend to sit in the front row.

Key words seating distribution； grades； attendance； spatial statistical analysis

0 引言

空間統計分析主要用于空間數據的分類和綜合評價，其核心是發掘基于空間地理位置的統計數據間的空間依賴、空間關聯或空間自相關，通過空間地理位置建立數據間的統計關系，并作出各種相關的統計分析，來探究各變量之間的內在關系。

近年來，利用空間統計分析作為研究方法，呂安民（2002）曾對中國省級人口增長率進行了研究，并以空間統計分析方法研究了其內在的空間關聯；左相國（2004）曾對人均GDP和農業人口比重對第三產業發展的制約作用進行了分析，研究國民經濟發展水平和農業人口比重對第三產業發展的制約機制的規律性；杜國明（2007）等曾以沈陽市為例，研究了城市人口分布的空間自相關；以空間統計分析為研究方法的學術成果十分豐富。

以教室或考場為空間范圍，在日常教學過程中可發現學生的座次、出勤率、考試成績等呈現出較明顯的空間分布特征，因此以空間分析工具開展教學研究將有助于揭示相關變量背后的關系。本文借助Geoda軟件，利用西南大學2012-2013學年度第二學期2011級某專業課程上，各個同學的座次、成績、出勤率等數據，分析了出勤率、學習成績與上課座次與考試座次之間的空間相關關系，也即以空間統計分析――一種更直觀的可視化的方式證明并顯示了座次與出勤率之間、座次與成績之間的空間相關性。

1 研究對象概況與數據來源、研究方法

1.1 研究對象概況與數據來源

本研究以某專業2011級69名同學為對象，統計了69名同學在2012-2013學年度上課座位分布數據，并分析了座位分布于69名同學的期末考試成績之間的相關關系。

由于課程教學地點不一，根據研究設計，學生的上課座位分布都在12列8排的96個座位范圍內（未考慮講臺、門窗、過道對分布的影響）。期末考試根據全校統一安排，學生的座位分布在7列11排的77個座位范圍內。本文建立的教室與考場地圖――也即座位的空間坐標方法①如下：

教室地圖與考場地圖編號方式如圖1圖2。不論是考場地圖還是教室地圖，兩者都以下方（即85～96或71～77這一排）為教室最前排，以最上方（1～12或1～7這一排）為教室最后一排。

圖1 教室地圖 圖2 考場地圖

1.2 研究方法

1.2.1 確定空間權重矩陣

空間權重矩陣表達了不同空間對象之間的空間布局，如拓撲、鄰接關系等，通常定義一個二元對稱空間權重矩陣，來表達幾個位置的空間區域的鄰近關系，其形式如下：

（1）

其中，表示空間單元個數，表示區域與（在本文中即座位與）的鄰居關系。本文以兩個教室與考場內的96、77個座位建立基于空間鄰接關系的權重矩陣，這里鄰接的意思是具有公共邊界，規則如下：

（2）

1.2.2 求局域空間自相關指標

局域空間自相關指標（Local indicators of spatial association，縮寫為LISA）用于反映一個座位的數據屬性與鄰近座位的相關程度。局部Moran指數被定義為：

= （3）

1.2.3 標準差地圖

標準差是總體各單位標準值與其平均數離差平方的算術平均數的平方根，它反映組內個體間的離散程度。借助Geoda095i軟件，可以以可視化的方式呈現空間上的成績、出勤率等差異。其定義方式為：

= （4）

2 研究假設

根據研究設定，本文提出以下假設：（1）座次分布與出勤率之間存在空間相關性。出勤率高的同學傾向于前排就坐，出勤率低的同學傾向于后排就坐，即前排座位上的同學傾向于具有高出勤率，后排座位上的同學傾向于具有低出勤率；（2）座次分布與成績之間存在空間相關性。成績高的同學傾向于前排就坐，成績低的同學傾向于后排就坐，即前排座位上的同學成績較高，后排座位上的同學成績較低。

3 實證分析

3.1 座次與出勤率之間的空間相關性分析

圖3 以出勤率為變量的教室標準差地圖

圖4 以出勤率為變量的教室標準差地圖中的高出勤率空間聚集

統計數據記錄了每次課每個座位上的同學的學號，然后將每個同學的出勤率與學號匹配，則可得到每次課每個座位上的同學的出勤率在教室座位上的空間分布。以此類推，根據可得18個課時分別對應的空間分布。此分析以每個座位為研究對象，有人坐記為1，無人坐記為0，賦予每個座位以數次出勤率，②再取這數次出勤率的均值，即可得到平均出勤率為每個座位賦值，以不同的顏色表示。也即在此分析中以每個座位為研究對象，求得坐在某座位的（不同或相同的）同學的出勤率的均值，將這個均值賦予此座位，表示坐在此位置上的（不同或相同的）同學的平均出勤率。然后借助軟件可得教室地圖中的出勤率分布的標準差地圖，如圖3。

在陰影區域（見圖4）高出勤率占比最大（93.33%），高出勤率在此區域有明顯的空間聚集特征，也即出勤率與座次之間存在明顯的空間相關性，可以認為，出勤率高者傾向于坐在這一區域。其次可以發現，前五排中高出勤率者占到73.33%，低出勤率者僅占26.67%，前后差異十分明顯。

為了驗證這一點，可再求局域空間自相關指標LISA，以反映某座位的數據屬性與鄰近座位的相關性程度，算法如前述公式（3）。借助軟件可得LISA Cluster Map，如圖5。

圖5 以出勤率為變量的教室局域空間自相關指標地圖（LISA Cluster Map）

高高點指此座位自身的出勤率高且相鄰接的座位的出勤率也高，意味著此處有高出勤率的空間聚集特征；低低點指此座位自身的出勤率低且相鄰接座位的出勤率也低，意味著此處有低出勤率的空間聚集特征；低高點指此座位自身的出勤率低但相鄰接座位的出勤率高，意味著此座位周圍出現高出勤率的空間聚集特征；高低點指此座位自身的出勤率高但相鄰接的座位出勤率低，意味著此座位周圍出現低出勤率的空間聚集特征。

通過分析圖5，可見高高點與低高點全在前四排，低低點全在后三排（高低點只有一個，故可忽略不計）。這個結果說明，前四排是高出勤率聚集之處（雖然有三個低出勤率點，但此三點周圍卻仍是高出勤率聚集），后三排是低出勤率聚集之處。此外，五個高高點中有四個分布在左側，也即在前排中，高高點并非左右均勻分布，而是傾向于分布在左側。

結合以上以出勤率為變量的地圖及相關分析，可以得出結論：座次分布與出勤率之間存在空間相關性；高出勤率的同學傾向于前排就坐，且在前排左側③出現明顯空間聚集特征；低出勤率的同學傾向于后排就坐；也即前排（尤其是左側）就坐的同學傾向于擁有較高出勤率，后排就坐的同學傾向于擁有較低出勤率。因此證明了本文提出的第一個假設。

3.2 座次與學習成績之間的空間相關性分析

3.2.1 平均座位排數與成績的統計描述

圖6是位于33教的統計學考試的考場地圖，是成績的標準差地圖。每個方格的不同顏色代表坐在此位置上的同學的成績。也即反映了統計學考試的考場中，每個同學的分數在考場座位中的空間分布。在圖中可發現，陰影區域的同學成績普遍較高，這一區域的成績分布有明顯的空間聚集特征。為了探求這些同學較高的成績是否與平時上課的座位排數――坐在較前排或較后排相關，也即其成績是否影響其座位選擇，分析圖6。

圖6 以成績為變量的考場標準差地圖

圖7也是33教統計學考試的考場地圖，但方格的屬性發生了變化――每個方格的不同顏色代表了坐在此位置上的同學平時上課所坐位置的平均排數。也即圖7為平均排數的標準差地圖，反映了在統計學考試的考場中，每個同學平時上課所坐位置的平均排數在考場座位中的空間分布。對比圖6與圖7，可以發現，圖6中成績較高的陰影部分剛好對應圖7中的平均排數較低的陰影部分。

圖7 以平均排數為變量的考場標準差地圖

因此可以推論，平時上課的平均座位排數較低（即前排就坐）的同學傾向于擁有較高成績，而平均座位排數本身即反映了座次分布，故可以初步推論座次分布與成績之間存在空間相關性。

3.2.2 座次與成績之間的空間相關性分析

為了驗證上述初步推論，分析18個統計學課時中每個同學的座次分布。

如座次與出勤率之間的空間相關性分析，數據記錄了在32教每次課每個座位上的同學的學號，將每個同學的分數與學號匹配，則可得到每次課每個座位上的同學的成績在教室座位上的空間分布。以此類推，可得18個課時分別對應的空間分布。與圖6圖7的分析不同之處在于，此分析中不再以每個同學為研究對象，而是以每個座位為研究對象，即賦予每個座位以數次成績，④再取這數次成績的均值，即可得到為每個座位賦予的成績屬性，以不同的顏色表示。也即在此分析中以每個座位為研究對象，求得坐在某座位的（不同或相同的）同學的成績的均值，將這個均值賦予此座位，表示坐在此位置上的（不同或相同的）同學的平均成績。見圖8，以成績為變量的教室標準差地圖。

圖8 以成績為變量的教室標準差地圖

分析圖8可知，圖中陰影區域呈現出明顯的空間聚集特征，表明平時坐在這一區域的座位上的同學們的成績較高，⑤前排就坐的同學的成績傾向于高于后排就坐的同學，也即成績高的同學傾向于選擇前排就坐，成績低的同學傾向于后排就坐。

為了更嚴密地驗證這一點，可采取以下分析。

第一，以成績的均值68.835為界。以前后四排為單位，在教室前四排48個座位中，高于平均成績者33個，低于平均成績者15個，分別占比68.75%、31.25%；在教室后四排48個座位中，高于平均成績者15個，低于平均成績者33個，分別占比31.25%、68.25%。以前后兩排為單位，在前兩排24個座位中，高于平均成績17個，低于平均成績者7個，分別占比70.83%、29.17%；在后兩排24個座位中，高于平均成績6個，低于平均成績者18個，分別占比25%、75%。

第二，以前后四排為單位，在48個高于平均成績者中，有33個分布在前四排，15個分布在后四排，分別占比68.75%、31.25%；在48個低于平均成績者中，有15個分布在前四排，33個分布在后四排，分別占比31.25%、68.25%。以前后兩排為單位，在23個高于平均成績者中，有17個分布在前兩排，6個分布在后兩排，分別占比73.91%、26.09%；在25個低于平均成績者中，有7個分布在前兩排，18個分布在后兩排，分別占比28%、72%。

第三，選出成績的后十名（如圖9）考察，發現后十名中坐在前四排者有2個，坐在后四排者有八個。而選出成績的前十名（如圖10）考察，發現前十名中坐在前三排者有4個，在第四五排者有五個，而在后三排者只有一個。

圖9 以成績為變量的教室標準差地圖中的成績后十名者

圖10 以成績為變量的教室標準差地圖中的成績前十名者

通過以上分析可得結論：成績與出勤率之間存在空間相關性。在教室前后，成績差異較大，而前后兩排成績差異尤為明顯。成績高的同學傾向于前排就坐，成績低的同學傾向于后排就坐，也即前排座位上的同學傾向于具有較高成績，后排座位上的同學傾向于具有較低成績。

4 結論

本文以課程18個課時中的各同學座次分布及其成績、出勤率數據為支撐，對其進行了空間統計分析，證明了本文提出的相應的兩個假設：第一，座次分布與出勤率之間存在空間相關性：出勤率高的同學傾向于前排就坐，出勤率低的同學傾向于后排就坐，也即前排座位上的同學傾向于具有高出勤率，后排座位上的同學傾向于具有低出勤率；第二，座次分布與成績之間存在空間相關性：成績高的同學傾向于前排就坐，成績低的同學傾向于后排就坐，也即前排座位上的同學傾向于具有較高成績，后排座位上的同學傾向于具有較低成績。

本文借助Geoda軟件進行分析，無疑具有直觀、簡潔的優點。但是不可避免，本文仍存在不足之處。如某些因素可能對本文分析的兩種空間相關性產生影響（如同宿舍的同學傾向于聚集）。若將這種影響納入本文的分析，雖在建模上可行，但是由于實際操作層面存在諸多困難，故未納入本文的分析。因此，關于座位分布、成績、出勤率之間的空間相關性，仍有待進一步更詳實的實證研究。

基金項目：重慶市高等學校人才培養模式創新實驗區項目；西南大學教育教學改革研究項目（2012JY047）

*通訊作者：孔立

注釋

① 為了處理數據的方便，地圖中未考慮教室中的過道，但這并不影響本文的分析與論證.

② 由于座位數大于同學人數，所以每個座位被坐次數6.

③ 之所以呈現出左右分布不對稱，從生活經驗可知是因為32教與35教上課的教室中PPT投影皆位于（面向講臺）左側.

④ 如腳注2，每個座位被坐次數6.

⑤ 如腳注3，出現左右分布不對稱是因為上課的教室中PPT投影位于左側.

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[6] Huang Runlong， Shuai Youliang. The logistic model and application study on population increase. Journal of Nan-jing College for Population Programmer Management，2000.16（3）：25-27.

篇（5）

保證考試質量是數學活動中不容忽視的重要組成部分。如何提高考試質量,不僅應在試前對試卷質量進行預測分析,更應結合試后考試成績分析作出最終評價。用學生的考試成績可以定量對命題質量進行評價與分析。觀察統計學生考試成績的直方圖,其分布大致可分為5種情形:(1)單峰且對稱、單峰大體對稱;(2)單峰但峰值向左移;(3)單峰但峰值向右移;(4)雙峰或多峰;(5)大體上可以一個平臺型為代表等等。如果把這5種情形的直方圖外廓線描出,則大致為如圖所示幾種情形的曲線。

2學生成績正態分布曲線分析

根據教育學與統計學的理論，一次難度適中信度可靠的考試，學生的成績應接近正態分布。也就是說，當學生的成績接近于正態分布時，則說明此次考試基本達到了教學要求。判斷成績是否接近正態分布，最直觀，最有效的方法是將成績分布曲線與均值和方差相同的正態分布曲線加以比較。當然，學生成績呈現正態分布是理想化狀態。考試成績完全呈正態分布有一定的困難，也不現實。但我們要以正態分布為標準模式，加以對比，找出不足。

利用教育統計學研究發現，對于難度適中、客觀有效的考試成績一般都符合正態分布，且平均分在75分左右，標準差在9 ― 5之間。因此,我們有理由使用各種高級統計方法處理考試分數,以挖掘更多的教育信息。考試成績是考生水平的反映，同時考試成績分布是否正態分布反映了命題質量。根據正態分布曲線呈現的形態，可以進行考題相對難度分析。

平均成績的差異引起曲線的水平位置變化，平均成績偏低，如低于65分說明試卷難度較大；而偏高在90分以上說明試卷難度太小。若學生成績分布屬附圖(1)所示的形態,這表明試卷命題的質量是比較好的.這里又有兩種情形:在標準差不變的情況下隨著平均分數的增加曲線向右移說明考生答題逐漸輕松；相反，隨著平均分數的減小說明考題逐漸變難，學生成績逐漸降低。在學生和教師工作正常情況下，題目越容易曲線越向右移。在平均分不變的情況下,標準差較小如低于6，成績分布較集中，正態分布曲線呈陡峭型狀態說明試卷區分度太小，表示中等難度試題所占比重太大；標準差較大如大于9，成績分布較平坦，試卷區分度太大，則表示中等難度試題偏少。

若學生成績分布屬附圖(2)所示形態, 即負偏態分布說明難度較大的試題比例偏高，表明試卷題目偏難;若學生成績分布屬附圖(3)所示的形態, 即正偏態分布說明難度較小的試題比例偏重，則表明試卷題目偏易。若學生成績分布屬附圖(4)或附圖(5)等所示的形態,則表明試卷的命題質量不好,隨意性較強,這樣的試卷成績不能很好地測量出學生對所學知識掌握情況。

3正態分布應用的結論

考題相對難度是指考題從整體上講相對考生其難易程度的合理性,用學生成績的平均分數衡量考題相對難度應是合理、可行的。對于高校結業類型的考試,經統計平均分數在77分附近時,考題相對難度是適中的。通過確定恰當的偏離度等級標準,對試卷做出試題難度相對學生①考題合理、②考題稍偏易或稍偏難、③考題較易或較難、④考題過易或過難、⑤考題難度不合理的5個等級判斷。

篇（6）

將2012年8月至2013年8月在我院接受治療的39例患者作為研究對象，所有患者均自愿參加本次實驗。患者中男19例，女20例。年齡41~81歲，平均年齡（53.26±3.28）歲。首次接受根治性放療的患者39例，患者的病灶部位有胸下段、胸中段以及胸上段三處。其中病灶位于胸下段的患者有5例，病灶位于胸中段的患者有13例，病灶位于胸上段的患者有21例。

1.2擺位誤差測量方法

建立坐標系，規定x軸為患者的左、右方向，y軸為患者的胸、背方向，z軸為患者頭、腳方向，其中患者的右方向、頭方向以及后方向為坐標系的正方向。以順時針沿x軸以及z軸旋轉的方向為正方向，逆時針方向為負方向，利用圖像引導、以CT模擬定位圖像作為參考圖像，以頸椎和胸椎的椎體作為參考標志，將CBCT掃描重建后的圖像與CT模擬定位的圖像，在圖像引導下在線進行自動配準和人工配準，獲得誤差數值。

1.3設備

23EX直線加速器（瓦里安公司），機載圖像引導系統，機載錐形束CT，熱塑面膜（戈瑞公司）。

1.4數據處理

計量資料使用均數±標準差（x-±s）表示，使用t檢驗計量資料，采用SPSS16.0統計學軟件對個體隨機誤差、個體系統誤差進行正態性檢驗。利用配對t檢驗比較相關指標的差異，P＜0.05，數據間差異具有統計學意義。

2結果

2.1擺位誤差

在放療時，對所有患者均采用熱塑面膜進行固定，重復模擬定位，利用三維激光燈，按物理計劃要求擺位后，對患者進行CBCT掃描，每個患者每周1次CBCT掃描，各掃描5次，共計195次。所有患者的隨機誤差以及個體系統誤差均服從正態分布。

2.2CTV和PTV之間的間隙值

所有患者在x軸、y軸以及z軸上平移的個體系統誤差的標準差分別是3.01、3.51、1.86mm；在x、y以及z軸上個體隨機誤差的標準差為1.61、2.11、1.16mm。根據公式（Mptv=2.5×系統誤差的標準差+0.7×隨機誤差的標準差），計算CTV和PTV之間的間隙值。其中x軸、y軸以及z軸上CTV和PTV之間的間隙值分別是8.65、10.25、5.46mm。

篇（7）

學生評教是通過學生系統地搜集教師在教學中的表現，對教師的教學活動是否有效、是否滿足學生學習需要做出判斷的過程。目前，學生評教已成為國內外高校評價教師教學效果的主要信息來源。有效的學生評教是保障高校教學質量的有力手段，而評教數據的有效性是學生評教能夠激發教師的積極性，真正服務于教學改革的保證。學生評教數據的科學化處理是對學生評教原始數據進行匯總分析得到有效信息的過程，主要包括以下幾個方面。

一、設置不合理打分限制機制

為避免個別學生僅憑個人好惡草率地對教師作出評價，評教系統對學生提交的評教結果設置限制，各測評項目全為很好或差的評教結果不予提交，促使學生端正態度，客觀地對教師教學作出公正評價。

二、對學生評教數據進行異常值剔除

統計表明，一個班級的學生對任課教師的評價打分趨向于正態分布。按照“三倍標準差原理”，學生評教成績落在區間（μ-3σ，μ+3σ）之外的概率等于0.003，為“小概率事件實際不可能原理”。因此，把區間（μ-3σ，μ+3σ）看作是評教成績實際可能的區間，對游離于此區間外的數據加以剔除，從而剔除了異常高和異常低的分數。

三、學生評教結果的影響因素研究及標準分優化處理

影響和干擾學生評教效果的因素很多，可以歸結為教師因素、學生因素及課程自身因素三類。研究表明，教師性別、年齡、職稱、學歷對學生評教的有效性并無顯著影響，［1］而教齡、教師的科研成果，以及教師的個性特質則是影響學生評教效果的主要因素；學生的出席率、學習興趣及學習成績可對評教結果產生影響；不同課程類別對學生評教的結果影響很大，有學者研究表明，學生傾向于給予選修學科的教師較高的分數，而給予必修學科的教師較低的分數。［2］

要提高學生評教的信度與效度，使其達到提高教學質量的目的，就必需對學生評教的影響因素進行定量分析，并通過對影響因素的控制來改進學生評教工作。本文研究分析了不同課程類別對江蘇某高校2009―2010學年第二學期學生評教結果的影響。

（一）不同課程類別對學生評教的結果影響

根據該校教務系統將課程分為公共選修、普通教育、專業基礎、專業方向四個類別，在全校11個學院中按文科、理科、工科進行抽樣，以人文學院、數學與統計學院、計算機科學與工程學院共三個學院的學生評教成績形成數據庫，對不同課程類別學生評教成績的統計見表1。采用單因素方差分析法對不同課程類別對學生評教成績的影響進行分析，結果見表2。顯著性水平p值為0.000＜0.05，從統計學的意義上看，課程類別對評教結果有顯著的影響。

表1：不同課程類別評教原始成績統計表

表2：不同課程類別對評教原始成績的方差分析表

（二）對學生評教原始成績的標準化處理

在學生評價系統中引入原始測評數據標準化處理手段，將原始分數轉換為等距量表，即標準分。標準分以被測者的平均分數作為比較，以標準差為尺度進行衡量，［3］它能準確反映被測試者的實際水平，能夠消除一些因素對結果的影響，它具有可比、可加的特性而且穩定。具體計算方法為：標準分=（課程得分-課類原始均分）/課類標準偏差。

課程得分是指教授某類課程的教師的學生評教原始得分，課類原始均分是指某類課程的學生評教的平均分，課類標準偏差是指某類課程的學生評教原始分數的標準差。

（三）對標準分的優化處理

標準分描述的是某一個數據在所在組中的相對位置，使教授各個不同課程類別教師得分結果有相同的基準點和相同的度量單位，從而消除不同課程類別對得分的影響。教師的得分大于課程平均分得到的標準分就大于零，相反則小于零。因此標準分在數值上就出現了大量的小數和負數，使得學生評教分數不直觀，不易理解，因此設計對標準分進行優化處理的方法，將標準分換算成標準成績。換算方法為標準成績=校平均分+標準分*校標準差。

校平均分為全校教師的平均得分，校標準差是全校教師得分的標準差。

（四）對標準成績的方差分析

通過對學生評教原始分進行標準化和優化處理后，采用單因素方差分析法對不同課程類別對學生評教標準成績的影響再次進行分析，結果見表3和表4。顯著性水平p值為1.000＞0.05，從統計學的意義上看，課程類別對評教標準成績無顯著性影響，課程類別對評教結果的影響通過標準成績的修正而得以消除。

表3：不同課程類別評教標準成績統計表

表4：不同課程類別對評教標準成績的方差分析表

（五）標準成績與原始成績的配對t檢驗

采用配對t檢驗對標準成績與原始成績進行均值檢驗，結果顯示：t值＝0.000，p值＝1.000＞0.05，表明標準成績與原始成績具有相等的統計學意義。

四、按人數加權平均計算教師最終成績

當同一教師承擔多門課程時，班級參評學生數的多少對教師評價總成績有較大影響。因此，在計算教師評價總成績時，不是先計算單個班級評價成績后再求各個班級平均得分，而是將一位教師全體參評學生的評價結果納入總體進行計算作為最終評價成績，由此消除了班級參評人數差異引入的誤差。

通過以上設置不合理打分限制機制、剔除異常值、標準分優化處理及加權平均法的應用等四種數據處理方式，有效地消除了多方面因素對學生評教數據客觀性和科學性的影響，提高了學生評教的效度和性度，實現了通過學生評教提高教學質量和改善學校管理水平的目的。

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篇（8）

一、引言

考試是學校教育的一個極為重要的組成部分，是檢查教學質量、評價教師教學水平、檢驗學生知識掌握及能力結構的主要環節。過去評價學生成績時，常常使用原始分數，如認為語文得90分的學生語文學得好，而外語得70分的學生則外語能力較低；再有，同一名學生期末數學得80分，語文得65分，于是認為該生是學理科的材料，文科不好。這些認識是不夠科學的，因為試題的難易程度是決定學生分數的主要因素，題目難，原始分數就偏低；題目容易，原始分數就偏高，從而導致了原始分數之間的不可比性。試題還受區分度大小的影響，因而造成考試的內容不同質、不等效、不可加。由于考試分數或原始分數沒有絕對的零點，也沒有統一的單位，因而不能將一個學生前后多次考試的成績進行比較，不能對不同科目的成績進行比較，難以判斷學生成績的變化趨勢。因此，原始分數得到的信息不夠準確，不科學，用原始分來評價學生的成績缺失公正性和合理性。采用標準分數對考試成績進行分析，就可以克服以上缺點，因此，用標準分比用原始分數評價學生成績更科學、更合理和公正。

二、標準分的定義及計算方法

標準分是由均數和標準差規定的相對地位量。它是統計學中最重要、用途最廣的統計量，標準分的定義為：以標準差為單位標定某一分數離開團體均數的距離。公式為：

z==

式中X為某一原始分數，為N個原始分數的平均數，x-是離均差，即某一分數離開均數的差數，S為標準差，Z即為標準分數，因此標準分數常稱為Z分數。Z分數有正值和負值。當Z為正數時，則X＞；當Z為負數時，則X＜；當Z=0時，則X=。Z分數的絕對值|Z|，表示某分數與在此分布上的平均數的距離，|Z|越大，表示某分數離開均數的位置越遠。計算機（利用Excel表）可以方便地將原始分轉換成標準分。

三、標準分的意義

標準分是一種具有相等單位的量數。它是將原始分數與團體的平均數之差除以標準差所得的商數，是以標準差為單位度量原始分數離開其平均數的分數之上多少個標準差，或是在平均數之下多少個標準差。它是一個抽象值，不受原始測量單位的影響，并可接受進一步的統計處理。其意義在于：

1.標準分的分布與原始數據的分布相同。

2.各科標準分的單位是絕對等價的。無論各科的平均分、標準差怎樣不同，一經轉換成標準分，就形成以平均數為0、標準差為1的統一的、固定不變的標準形式。

3.標準分數值的大小、正負，反映某一考分在全體中所處的位置，它是相對分數。

4.當總體均服從同一分布時，總體的標準分之間具有可比性。

5.用標準分表示的樣本間可以進行算術運算。

因此，標準分在考試成績評價中具有重要作用。

四、標準分的作用

標準分在考試成績評估中的用途很多，一是能夠明確各個分數在總體中的位置；二是能客觀地比較不同學生不同學科的總成績及其優劣；三是可以比較某學生不同學科、與階段的考試成績，正確評價其學習的發展。

（一）能明確各個分數在總體中的位置。

標準分是按正態分布原理而建立的分數制度，其主要特點是：分數不但可以反映考生的水平高低，而且可以直接反映出該分數在全體考生中的位置。

依據Z標準分數的意義，Z分數為0的原始成績是全班的平均分。Z分數大于0的原始成績高于全班的平均分；Z分數小于0的原始成績則低于全班的平均分。也就是說，標準分數值的大小、正負，反映某一考分在全體中所處的位置。以表1為例。

表1是某高校10級商英2班第一學期外語三科期末考試的成績統計。表1中學生01的泛讀得分為34，其泛讀標準分為-1.690，這表明學生01所得的泛讀分數低于全體考生平均數1.690個標準差，在總體的位置靠后；學生02的泛讀得分為65，泛讀標準分為0.158，這表明學生02的泛讀分數高于全體考生平均數0.158個標準差，在總體的位置則靠前。

再如，學生32的精讀和泛讀的原始分數都是73分，這個分數是高還是低？該學生在全體考生中的位置靠前還是靠后？單從原始分數看不出來，因為沒有一個穩定的參照點。若把原始分數轉換成標準分后，該學生在全體考生中的位置則一目了然：該生精讀原始分數為73分，標準分為1.211，高于全體考生平均數，原始分數73分應算較高的成績了；而泛讀的標準分為0.635，接近全體考生平均數，原始分數73分則只算中等成績，由此可見，原始分數很難準確說明分數所反映的考生實際水平，也不能確定分數在群體中的位置。而標準分則可以直接反映出該分數在全體考生中的位置。|Z|越大，表示某分數離開均數的位置越遠。

（二）能客觀地比較不同學生不同學科的總成績及其優劣。

從表1可以看到，若按原始分累計總分，學生09、學生10和學生22的總分都是140，三者學習成績處于并列的位置，沒有優劣或高低之分；但將原始分數轉換成標準分數后，以Z值的總和相比較，學生09的Z總為-1.013，學生10的為-1.189，學生22的為-0.777，則可以看出學生22的成績要比學生09的高，而學生09的成績又比學生10的要高。從“Z總”這一欄，我們可以明確地看到學生22、學生09和學生10在班級成績中的排名分別為第26、第29和第31。三者原始總分相等，沒法比較，但按標準分來分析，他們這幾科的總成績卻有高低之分。

從表1還可以看到，學生07的總分為189，學生28的總分為195，以三科的總分來判定成績的優劣，學生28排第8名，學生07則排第12名。表面上學生28的成績似乎要比學生07的成績好。但是，按原始總分計算只考慮了分值，并沒有考慮各分值在各自總體（即各自科目的分數總體）中的價值，這種考慮是欠妥的。分數的價值應用最佳地位量標準分數來表示。那么將學生07和學生28的三科考分都換成Z值（見表1），以Z值的總和相比較，Z為1.748，而Z為1.433，則可看出學生07的分數價值要比學生28的高。學生07的成績優于學生28，兩者的排名恰與原始分數的排名截然相反。若要推薦優秀生，推薦學生07更為合理。其道理從學生08的泛讀為84分，其Z值為1.291，與學生30的聽力為84分，其Z值為1.775的比較分析可以顯示出來。從原始分數看，同是84分，但由于分別位于不同科目的不同分布中，其價值是不同的。受試題難度和區分度大小的影響，導致了泛讀的“1分”與聽力的“1分”不等值，便造成了這樣的現象：同樣是84分的兩科成績卻反映出兩種高低不同的水平。

上述例子表明，使用原始分數難以對學生的水平進行科學的比較。將原始分數相加得到總分的方法，就好比將100元人民幣加上100元港幣再加上100元美元得到300元一樣，是不能反映三種貨幣在總額中的真實價值的。由此可見，原始分數不具有簡單的可加性，幾門原始成績的總分并不能說明個體在團體中的實際排名，不能確切評價學生成績的優劣，甚至會產生與學生實際水平截然不同的結果。而標準分是以群體的平均分為參照、以標準差為度量單位的一種分數，是在消除考試難度、考生不確定因素產生的抽樣誤差影響，將考試成績（分數制）通過某種變換而得到的具有明確區分、比較特性的考試成績。所以標準分能夠直接比較不同學生不同學科的總成績，能夠客觀、公正地反映各個學生的成績在群體成績中的實際地位或實際排名。

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（三）可比較某學生不同學科與階段的成績，正確評價其學習的發展。

我以某高校某學生第一學年（兩個學期）大學語文與大學英語成績為例來說明這個問題，見表2。

按表2中的原始分數評價，有人認為該生的語文成績有進步，而英語學習有退步。而若將該生的成績標準化后，不難發現，該生的語文成績在班上的相對位置沒有變化，而英語成績第二學期雖比第一學期低7分，但標準分數提高了，說明該生在班上的相對成績有所提高。同樣，若僅看該生的第二學期成績：語文86分，英語80分，不少人會認為該生的語文比英語學得好。但我們從表2中可知，該生的語文成績高于平均成績0.96個標準差，英語成績高出平均成績1.16個標準差，英語成績比語文成績在班上的相對位置高，因而相對來說該生的英語學得較好。所以只憑借原始分數盲目評價學生是不恰當的。如果教師采用標準分數，就可以掌握每個學生學習某科成績發展趨勢，了解學生知識的掌握程度。

五、結語

無論用原始分數比較單科成績還是比較總成績都是不科學的，因為各原始分數分別位于不同科目的不同分布中，價值不同，沒有同一的測量尺度，因而不可加與不可比。標準分是采取統計學的計算方法計算出的一種數據，利用這種計算方法可以避免多次考試因試題量不同及試題難度不同而造成的前面提到的對學生的學習情況評價不確切的情況發生，使課程之間、學生之間、班級之間、年級之間和學校之間具有可比性，可對同一考試各科進行橫向比較，也可對同一學科不同時期的考試縱向比較，找到個體在總體內的位置，從而對全校教學情況一目了然，教學管理也可以做到心中有數。

當前，仍有相當一部分教師用原始分數作為考試成績評價的依據，尚未認識到原始分數的局限性。因而，我認為對標準分數的認同需要宣傳，讓教師更了解標準分的意義和作用，盡快地接受標準分，并運用標準分更好、更科學和更合理地評價學生的考試成績，客觀地了解學生的學習動態，做到有的放矢、因材施教。

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篇（9）

一、引言

當今社會，科學技術日益革新，統計思想逐步成熟，統計工具也被應用于統計領域，該領域也隨之得到延伸和發展。而所謂的統計學其主要的內容是通過對數據的收集、統計、整理分析、數據處理等方法，從而更加深入的發掘數據存在的內部規律，以達到更科學、更合理的解釋客觀事物的目的，加深對該事物的認知。在具體工作和現實生活中，很多客觀規律的分析及歸納是運用統計的方法實現的，通用的操作方法如下：首先需要在分析之前對客觀事物進行研究和設計，了解該事物的基本特點；其次針對該事物進行抽樣調查，調查的范圍要全面；再次利用相應的統計軟件和數學思想，建立相應的數學模型，對抽樣的結果進行統計分析，讓數據呈現一定規律；最后便是根據統計分析的結果作出結論性成果，以便能更加深入的研究及分析客觀事物存在的內在規律和普遍性原則等。統計學被應用的領域廣泛，本文主要針對統計學在財務方面進行研究。

二、統計學應用于財務方面的意義

（一）將統計學應用于財務，能滿足企業和行業對產值、資金等方面的計算需求。行業或企業財務數據極為龐大，運用統計方法進行財務統計，便于反應企業或行業的勞動成果和產能產效，為國家統計國內生產總值、人均GDP等提供數據支撐。

（二）將統計學應用于財務，可以幫助企業或個人進行負債核算、資金流核算等，提供基礎數據。運用統計學進行財務統計，既可以作為分析企業經濟實力的標準，又可以將統計的數據作為核算資產負債的數據來源。

（三）將統計學應用于財務，可以用于研究分析個人、企業、國家三者之間的利益分配關系，通過統計學研究出的普遍性規律來制定符合大多數人需求的收入分配制度，從而達到合理調整利益關系的目的。

三、如何合理運用統計學解決財務管理問題

（一）利用統計學方法進行財務的收益與風險計算財務管理的過程中，經常需要計算財務收益與風險，而對應在統計學中即為算數平均值與標準差的計算。比如,企業在運營過程中，需要計算期望現金流量,往往在現實運營過程中，存在諸多影響未來現金流量的不可控因素，因此計算出的未來的資金流量存在很大的不確定性，但如果采用單一的現金流量，在一定程度上可以保證現金流量的確定性，卻不能全面的反應企業的資金運營情況。在這種大背景下，可結合統計學方法，如期望現金流量法，計算未來的現金流量，能提高計算的準確性，取得較好的效果。此外，在企業財務管理的過程中,需要運用到許多基于統計學的財務預算方法，如在預測資金需求量的情況下，可以運用回歸法預測、平滑法預測等。當今，基于統計學原理，已經形成了很多專業的財務預算方法，如：預計資產負債表法、線性回歸法等，這些方法的運用，加快了財務管理的效率，為財務人員處理龐大的財務數據提供了方法。

（二）利用統計學方法進行審計統計抽樣抽樣調查是統計學常用的統計方法，而審計抽樣,則是抽樣調查在財務應用的體現，主要是指審計人員在審計時，審查主體數據量比較龐大，因此僅抽取部分樣本進行審查分析，通過分析抽取樣本的審查結果,從而大致推斷出總體的審查結果，這也是我國財務審查的主要方法之一。統計抽樣之前需要先進行假設檢驗，即在抽樣調查之前需要確定抽樣規模、范圍、基本參數等，之后還需對選取的樣本進行初步審核。若在實際審查的過程中，抽取的樣本不能滿足審查要求，還可對樣本的規模進行逐步擴大，以達到抽樣結果的特征與總體情況基本相符的目的。在審查的最后，根據樣本的審計結果進行推導，從而得出基本符合總體特征的結論。在實際的審計過程中，抽樣的方法有很多，如貨幣單位抽樣、變量抽樣等。而在選擇抽樣方法時，審計人員應該根據審計的目標、效率及審查總體的特征合理選擇，以達到審查的最終目的。

四、統計方法在財務管理中的應用

當今社會，統計學方法被大量應用于財務管理的各個方面，其最終目的在于提高財務管理的效率，分析財務活動的合理性，為財務活動的預測、決策、控制等提供科學依據。本文從收益率的預測、概率圖的運用、數據的準確性及數據變異系數的分析四個方面著手，對統計學在財務方面的應用進行研究分析。

（一）預測未來收益率，提高企業收益。一個企業在實際運營過程中，能很好的把控未來的發展狀態及收益情況，是企業發展的重要途徑。利用合適的統計學方法可以實現利用已有的數據預測未來一段時間的數據。對應到企業中去，即運用統計學的方法，對企業現有的資源進行統計分析，預測未來一段時間內的收益情況，從而根據預測的收益率指定相應的實施方案，從而達到提高企業收益的目的。

（二）利用概率分布圖，進行數據分析及投資決策。在具體的財務管理過程中，可利用統計學方法對已有數據進行處理，并根據需求繪制相應的概率分布圖，那么各種數據的變化規律便一目了然，以便于決策者根據其變化規律進行投資或運營。比如在計算企業未來收益率時，可以根據現有的數據進行統計分析并繪制出一條概率與結果近似關系的連續性曲線，并根據該曲線推導出未來的收益率，從而進行投資決策。概率圖有兩個最主要的特點：概率分布圖越集中，則其預期結果越趨向于實際結果，則其風險越小，投資回報率越高。當所得到的概率分布圖越集中時，則說明實際結果越有可能接近預期值；反之，概率分布圖越稀疏，則實際結果與實際結果的差距越大，風險也越大。

（三）利用標準差，確保數據的準確度。在財務的實際管理過程中，經常需要確定數據的準確程度，而財務人員通常是是利用統計學中的標準差的大小來判斷所得到數據的精確程度。計算標準差的步驟如下：第一，根據現有的數據進行預測，得出收益的預測值；第二，將收益率的預測值和實際值相減，得到離差值；第三，計算概率分布方差，即將離差值求平方，并將得出的平方值與預測值相乘，再將這些乘積相加；第四，對方差進行開方計算，得到標準差。

（四）運用數據變異系數，度量單位收益風險。變異系數是標準差與平均數的比值，主要是用來衡量數據的變異程度，即用于度量單位收益下的所面臨的風險。這種單位收益的風險判斷為企業的決策提供了有效的借鑒。因為變異系數既能計算風險還可以反映企業收益，因此在企業的財務管理中被大量應用。

五、結論

企業或行業的財務管理過程中會面臨大量的數據處理，合理利用統計學方法進行數據的統計及分析，對簡化數據處理，提升數據準確度、精確度，甚至對于財務決策等各方面均有所助益，因此，將統計學方法引入財務管理具有非常重要的意義。

【參考文獻】

[1]李金昌.關于統計思想若干問題的探討[J]．統計研究．2006，(3)．

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本文根據近年來砌筑砂漿技術不斷進步，磚底模已經被淘汰，鋼底模的試配強度計算還不夠完善的現狀。將JGJ/T98-2010與JGJ98-2000砌筑砂漿配合比規程中的試配強度計算方法進行比較，從而對砌筑砂漿配合比規程中的試配強度計算方法進行評判。

1、JGJ/T98-2010與JGJ98-2000砌筑砂漿配合比規程中的試配強度計算比較

在JGJ/T98-2010砌筑砂漿配合比規程中試配強度計算與JGJ98-2000的砌筑砂漿配合比規程中的計算方法不一樣。JGJ98-2000的試配強度計算為fm,0=f2+0.645。其中fm,0指的是砌筑砂漿的試配強度。f2指的是砌筑砂漿的抗壓強度平均值，其中抗壓強度由三軸抗壓強度實驗獲得，一般情況下由三個試塊的抗壓實驗結果進行平均，平均值作為砌筑砂漿試塊的代表值。指的是砌筑砂漿的現場強度標準差，是根據多年現場的資料進行收集與統計得來的。由于近幾年來砌筑砂漿的技術不斷進步，磚底模已經被淘汰，鋼底模不斷在施工中得到應用。我國針對變化及時的調整砌筑砂漿配合比方法，提出JGJ/T98-2010砌筑砂漿配合比規程。以適應現階段砌筑砂漿施工要求。JGJ/T98-2010的試配強度計算公式為fm,0=kfm，k。其中k（與k值如表1所示）為經驗參數，它是通過多年現場的資料進行收集與統計得來的；fm，k指的是砌筑砂漿的強度等級值，也就是砌筑砂漿的設計強度標準值。

表1 JGJ/T98-2010規范中的砌筑砂漿強度標準差與k值

通過以上所述的JGJ/T98-2010與JGJ98-2000砌筑砂漿配合比規程中的試配強度計算可以看出：

1）公式參數不同。JGJ98-2000的規范中所提及的砌筑砂漿的抗壓強度平均值f2并沒有運用到JGJ/T98-2010中。這是由于現階段的砂漿試模由磚底模改變為鋼底模，所以變異系數、標準差均相對JGJ98-2000的階段有所減小。所以在JGJ/T98-2010中并沒有體現砌筑砂漿的抗壓強度平均值。直接可以通過砌筑砂漿的強度等級值，就可以對試配強度進行計算。

2）計算公式不同。JGJ/T98-2010的試配強度計算公式引入了k值，由JGJ/T98-2010試配強度計算與JGJ98-2000的比較可以看出試配強度計算方法更為簡化，只利用k與強度等級值就可以進行試配強度計算。但是k并沒有明確的物理意義，只是對強度標準差率的轉化。彌補JGJ98-2000中出現的砌筑砂漿的抗壓強度平均值與設計標準值之間的偏差問題，減小了絕對誤差。

3）標準差沒有在公式中體現。本文通過研究與論證，在JGJ/T98-2010中所規定的仍然采用JGJ98-2000中所規范的數據。所以在試配公式中沒有采用，可以降低鋼底模與磚底模之間的誤差，而k值在JGJ/T98-2010也是采用材料強度的概率分布中的正態分布來確定。在規范中k值的解釋是這樣的：“當標準差為0.25倍的砂漿強度等級要求的強度的情況下，fm,0為1.2倍的f2，進行試配后的砂漿測得的強度均不低于強度等級要求的強度78.8%”。 當標準差為0.30倍的砂漿強度等級要求的強度的情況下，fm,0為1.25倍的f2，進行試配后的砂漿測得的強度均不低于強度等級要求的強度79.9%”。本研究通過以下介紹的強度綜合評定法可以對砌筑砂漿配合比規程中的試配強度計算方法中的k值范圍進行評判。通過非統計學的角度，評判k值是否可以代替進行試配強度的計算。

2、強度綜合評定法評判JGJ/T98-2010的試配強度計算方法

強度綜合評定法是基于混凝土的較為完整的評定體系得來的。由于混凝土與砂漿的配比機理相似，所以可以借鑒混凝土的強度綜合評定公式以及概念。但是由于砂漿的立方體抗壓試塊相對于混凝土試塊組數較少。所以擬采用非統計方法進行砂漿試配強度計算。即mf21.15fm，k和fmin0.95fm,k;其中mf2指的是同一驗收批的砂漿立方體抗壓強度的平均值；fm，k指的是砂漿立方體抗壓強度標準值; fmin指的是同一驗收批的砂漿立方體抗壓強度的最小值。如果按照混凝土的生產質量水平劃分，混凝土的實際強度要不低于強度等級所要求的強度的85%。但是通過砌筑砂漿施工工作的總結，砌體為一種特殊的結構，是多種材料的結合體。砌筑砂漿僅僅是多種材料中的一種，所以砌筑砂漿的強度對于砌體的強度影響是有限的。通過利用砌筑砂漿工程施工資料的收集與統計，當砌筑砂漿的抗壓強度降低10%的情況下，砌體強度值則一般下降5%左右。在此情況下可以確定在一般的生產條件下，砌筑砂漿的強度達到強度等級規定的強度的75%~80%即可滿足施工要求。所以可以將混凝土的強度綜合評定公式中的fmin0.95fm,k修改為fmin0.75fm,k.。比較適合現階段砌筑砂漿施工的實際情況。由于fm,0=kfm，k帶入公式mf21.15fm，k、fmin0.75fm,k中可以得到kmf21.15fm，0和kfmin0.75fm..0 。在這兩個公式中mf2的物理意義是同一驗收批的砂漿立方體抗壓強度的平均值，而fmin則為砂漿立方體抗壓強度的最小值。所以則有kmf2kfmin0.75fm,00.75fmin。根據工程實際與試驗中的驗證不同批次的砂漿立方體的抗壓強度的平均值與抗壓強度的最小值之間的差距不大于1.533,即為1.15與0.75之商。所以k值的范圍可以是1.533k0.75。所以在JGJ/T98-2010的試配強度計算方法中提出的k值為1.15、1.2、1.25均在這一范圍內，符合強度綜合評定法計算的強度需求范圍。

幾點建議與看法

通過以上對JGJ/T98-2010中規定的試配強度計算方法進行強度綜合評定法評判，我們可以看出其符合強度綜合評定法計算的強度需求范圍。但是我感覺還是有不足之處有待于在以后的規定中做出完善與修改。本文就JGJ/T98-2010中規定的試配強度計算方法提出以下幾點建議與看法：

（1）JGJ/T98-2010的試配強度計算方法中提出的k值在強度綜合評定法評判的范圍內，可以證明k值的取值是合理的，但是在JGJ/T98-2010的規范中k值的準確值則是由統計學角度來進行確定的。現階段由于砂漿試模由磚底模改變為鋼底模，所以變異系數、標準差均應與JGJ98-2000有所不同。但這一點并未在JGJ/T98-2010中體現出來。在此情況下k值的準確值仍然需要一個長期的資料統計與分析，最好對各種不同條件下的砌筑砂漿施工，采用不同的試配強度計算方法。

（2）鋼底模相對于磚底模的強度較大，所以引起的變異系數就會相對減小。標準差也會相對降低，這樣就會導致利用JGJ/T98-2010中規定的試配強度計算方法計算出的試配強度相對較高。

所以還要在以后的工作中加強收集鋼底模的砌筑砂漿施工的有效數據，通過對大量資料的統計得出新的標準差與k值。這樣會使試配強度計算方法施工更加精確，為以后新的砌筑砂漿配合比規程的規范提供參考。

參考文獻：

[1] JGJ98-2000 砌筑砂漿配合比設計規程