函數(shù)最值的應用匯總十篇

序論：好文章的創(chuàng)作是一個不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]十篇函數(shù)最值的應用范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

 

重點難點

求三角函數(shù)的最值問題就是通過適當?shù)娜亲儞Q或代數(shù)換元，化歸為基本類型的三角函數(shù)或代數(shù)函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性或常用的求函數(shù)最值的方法來處理；還可以通過數(shù)形結合利用三角函數(shù)的圖象或其他幾何意義求解.

 

重點：明確三角函數(shù)的最值的常見類型和處理方法，能運用轉(zhuǎn)化思想，通過變形、換元等方法熟練地求解三角函數(shù)的值域和最值.

難點：三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上取得的，因而特別要注意題設中所給出的角的取值范圍，還要注意弦函數(shù)的有界性. 含參數(shù)三角函數(shù)的最值的分類討論也是一個難點.

 

方法突破

篇（2）

俗話說得好：“學好數(shù)理化，走遍天下全不怕”，我們在講解數(shù)學知識的過程中也要充分和實踐相結合。綜合分析多年來的單招高考試題，不難發(fā)現(xiàn)，試卷的重難點大多集中在函數(shù)這一章節(jié)。函數(shù)知識點靈活，和中職所學的很多知識都有關聯(lián)，均值定理是中職數(shù)學的重要組成部分，在單招高考中占有一定的比重，成為單招高考的高頻考點，總能以各種形式出現(xiàn)在單招高考的舞臺上，成為考驗學生綜合能力素養(yǎng)的體現(xiàn)。因而，我們教師如何將均值定理運用于函數(shù)最值這一個知識點講得通透準確顯得尤為關鍵，下面給出常規(guī)的例題講解和教學方法。

一、指導學生多種解題思路，避免出題陷阱

例1 求函數(shù)f（x）=+x（x

對于均值問題， 最常規(guī)的解題思路是直接套用公式，但是很多學生往往忽視使用公式的前提條件，忽視“一正，二定，三相等”這一前提，因此在解答這道題時很多初學者會犯一類錯誤，直接由均值定理得出答案是2，但很明顯，當x

例2 如果a>b，ab=1，求的取值區(qū)間。

這類題我們首先應該觀察所求表達式本身的分子與分母的關系， 通過使用配湊法以及取公因式得到新的函數(shù)，根據(jù)題目所給條件，確定a>b，a-b>0確保了“一正，二定，三相等”的使用原則，令x=a-b=a-，則f（x）==x+（x>0），很快利用公式可以算出取值區(qū)間。在解決此類題的過程中，最重要的是引導學生簡單地分析題目的條件，根據(jù)所給關系式運用配湊法等找出解決題目的核心，然后判斷題目所給的既定條件是否符合均值定理的使用原則，找出核心的關系式是解決此類問題的關鍵。其實之所以均值問題會成為單招高考中的殺手锏，是因為學生不能夠根據(jù)題目條件很迅速地確定答題關鍵，找出核心的關系式。因此，我們針對學生出現(xiàn)的這類問題，需要適時地調(diào)整我們的教學方法，盡量做到一題多解，并且指導學生掌握正確的學習方法，這對后期的學習會有更大地幫助。

二、明確學習目標，結合各地單招試題分析

很多學生對單招高考比較迷茫，對數(shù)學知識點更是沒有很好地把握。因此，我們教師要分析各地多年來的高考試卷，結合單招改革的形式，搜集有關的試題，結合例題講解，讓學生理解并學會應用均值定理解決函數(shù)最值問題。教學過程中，我們要考慮學生的接受能力，步步為營、穩(wěn)扎穩(wěn)打，在學生平時的學習過程中穿插一些高考題，讓他們對高考有個簡單的了解，并且在講解的過程中要注意學生的解題思路，很多學生乍一看答案都是對的，但是很多都是誤打誤撞的，并沒有準確地理解定理運用的前提，這是解題的大忌，要做到精細和準確兩手抓，確保學生明確均值定理后再開始運用。

笛С杉ê玫難生并不是老師教出來的，學習最重要的過程是反思和將知識內(nèi)化，徹底理解并形成自己的思維模式才是最難能可貴的，因此我們要指導學生掌握科學的學習方法，尤其是在均值定理這一個知識點中。首先，學生得明確數(shù)學的學科性質(zhì)，死記硬背是行不通的，對于均值定理雖然只有幾個簡單的概念，但是真正的消化并不容易，我們在上課的過程中就要幫助學生準確地理解均值定理的由來，三個條件缺一不可。其次，在我執(zhí)教的過程中，我都會要求學生準備錯題集，均值定理在函數(shù)最值問題中的應用范圍很廣，很多題目初看覺得和定理無關，其實很多解題關鍵都是很隱秘的，學生必然會掉到陷阱里。那么如何將這些知識做一個很好的歸類呢？這就要發(fā)揮錯題集的作用了，將自己經(jīng)常錯的和題目條件隱晦的題目整理起來，幫助自己后期系統(tǒng)復習，也彌補了這類知識的學習漏洞，考前將錯題重新做一下相較于做新題更有價值，學習本就是不斷溫故知新的過程。

綜合而言，均值定理的教學過程中要充分幫助學生正確地理解使用原則，并且運用不同的典型例題進行講解，幫助學生建立基本的知識架構，并且要做到一題多解，避免學生思維單一性。最關鍵的是要指導學生科學的學習方法，讓學生成為學習的主體，完成對知識的內(nèi)化。

篇（3）

例1 （2012年江蘇揚州）如圖1，線段AB的長為2，C為AB上一個動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側作兩個等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE長的最小值是 .

圖1

解析：設AC=x，則BC=2-x.

ACD和BCE都是等腰直角三角形，

∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=■x，CE=■（2-x）.

∠DCE=90°.

DE2=DC2+CE2=（■x）2+[■?（2-x）]2=x2-2x+2=（x-1）2+1.

當x=1時，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1.

例2 （2012年寧夏）如圖2，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一點（P與B、C不重合），過點P作APPE，垂足為P，PE交CD于點E.

（1）連接AE，當APE與ADE全等時，求BP的長；

（2）若設BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關系式.當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？

（3）若PE∥BD，試求出此時BP的長.

圖2

分析：（1）由APE≌ADE，可得AP=AD=3.在RtABP中，運用勾股定理即可求得BP的長.

（2）由APPE，得RtABP∽RtPCE. 根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可列式得y與x的函數(shù)關系式，然后化為頂點式即可求得當x=■時，y的值最大，最大值是■.

（3）由PE∥BD，得CPE∽CBD.根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可列式求得BP的長.

解：（1）APE≌ADE，AP=AD=3.

在RtABP中，AB=2，BP=■=■=■.

（2）APPE，RtABP∽RtPCE.

■=■，即■=■.

y=-■x2+■x.

y=-■x2+■x=-■（x-■）2+■，

當x=■時，y的值最大，最大值是■.

（3）設BP=x， 由（2）得CE=-■x2+■x.

PE∥BD，CPE∽CBD.

■=■， 即■=■.

將上式化簡，得3x2-13x+12=0.解得x1=■或x2=3（不合題意，舍去）.

當PE∥BD時， BP=■.

二、求線段積的最值

例3 （2012年江蘇蘇州）如圖3，已知半徑為2的O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C，PC與O交于點D，連接PA、PB，設PC的長為x（2

（1）當x=■時，求弦PA、PB的長度；

（2）當x為何值時，PD?CD的值最大？最大值是多少？

圖3

分析：（1）由直線l與圓相切于點A，且AB為圓的直徑，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB垂直于直線l.又PC垂直于直線l，根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行，得到AB與PC平行. 根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對內(nèi)錯角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩個三角形相似可得出PCA與APB相似.由相似得比例式，將PC及直徑AB的長代入比例式求出PA的長.在RtAPB中，由AB及PA的長，利用勾股定理即可求出PB的長.

（2）過O作OE垂直于PD，與PD交于點E，由垂徑定理得到E為PD的中點.再由有三個角為直角的四邊形為矩形得到四邊形OACE為矩形.根據(jù)矩形的對邊相等，可得出EC=OA=2.用PC-EC的長表示出PE，根據(jù)PD=2PE表示出PD，再用PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到關于x的二次函數(shù)，根據(jù)自變量x的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出所求式子的最大值及此時x的取值.

解：（1）O與直線l相切于點A，AB為O的直徑，ABl.

又PCl，AB∥PC. ∠CPA=∠PAB.

AB為O的直徑，∠APB=90°.

∠PCA=∠APB.PCA∽APB.

■=■，即PA2=PC?AB.

PC=x=■，AB=4，PA=■=■.

在RtAPB中，由勾股定理得PB=■=■=■.

（2）過O作OEPD，垂足為E.

PD是O的弦，OEPD，PE=ED.

在矩形OECA中，CE=OA=2，

PE=ED=x-2.

CD=PC-PD= x-2（x-2）=4-x .

PD?CD=2（x-2）（4-x）=-2x2+12x-16=-2（x-3）2+2.

2

當x=3時，PD?CD有最大值，最大值是2.

三、求周長的最值

例4 （2012年四川南充）如圖4，在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點.把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與POQ的兩直角邊分別交于點A、B.

（1）求證：MA=MB；

（2）連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，AOB的周長是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

圖4

分析：（1）連接OM，證明PMA和OMB全等即可.

（2） 由（1）可得OP=OA+PA=OA+OB=4，再令OA=x，AB=y，則在RtAOB中，利用勾股定理得y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8，然后求出最值即可.

解：（1）證明：連接OM .

在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點，

PQ=4■，OM=PM=■PQ=2■，∠POM=∠BOM=∠P=45°.

∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，

∠PMA=∠OMB.

PMA≌OMB（ASA）. MA=MB.

（2）AOB的周長存在最小值.理由如下：

PMA≌OMB ， PA=OB.

OA+OB=OA+PA=OP=4.

設OA=x， AB=y，則y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8≥8.

當x=2時，y2有最小值8，從而 y的最小值為2■.

AOB的周長存在最小值，其最小值是4+2■.

四、求面積的最值

例5 （2012年四川自貢）如圖5，正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，且始終保持AMMN，當BM= cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm2.

圖5

解析：設BM=xcm，則MC=（1-x）cm.

∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，

∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC.

ABM∽MCN，■=■，即■=■，解得CN=x（1-x）.

S四邊形ABCN=■×1×[1+x（1-x）]=

-■x2+■x+■=-■（x-■）2+■.

-■

當x=■cm時，S四邊形ABCN最大，最大值是■cm2.

例6 （2012湖南株洲）如圖6，在ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米.M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒.運動時間為t秒.

（1）當t為何值時，∠AMN=∠ANM？

（2）當t為何值時，AMN的面積最大？并求出這個最大值.

圖6

分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根據(jù)AM=AN，得到關于t的方程，求出t值即可.

（2）作NHAC于H，證明ANH∽ABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，從而計算AMN的面積得到有關t的二次函數(shù)，最后求出最值即可.

解：（1）M點從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒，運動時間為t秒，

AM=12-t，AN=2t.

∠AMN=∠ANM，AM=AN，即12-t=2t，解得t=4 秒.

當t為4秒時，∠AMN=∠ANM.

（2）如圖6，作NHAC于H，∠NHA=∠C=90°.NH∥BC.

ANH∽ABC.

篇（4）

一、最小二乘法求直線擬合的原理

在大學物理實驗中，有不少直接從實驗的數(shù)據(jù)求某種物理規(guī)律的經(jīng)驗方程即函數(shù)關系的問題，此類問題稱為方程的回歸問題。方程的回歸的首要問題就是確定函數(shù)形式，兩個物理量x、y之間存在：y=a+bx（1）的線性關系，如用自由下落物體測量重力加速度，在氣墊導軌上驗證牛頓第二定律，用拉脫法測量液體表面張力系數(shù)實驗中力敏傳感器的定標，等等，（1）式中a、b均為常數(shù)，且只有一個變量x，此類關系也稱為一元線性回歸。回歸的問題可以認為是用實驗數(shù)據(jù)來確定方程中的待定常數(shù)，即求解參數(shù)a、b。例如實驗測得的數(shù)據(jù)是x=x，x，…，x時，與之對應的y=y，y，…，y。假設x的誤差可以忽略，僅y具有相互獨立滿足正態(tài)分布的測量誤差，記作d，d，…，d。這樣，把實驗數(shù)據(jù)代入（1）式中，有：y=a+bx+dy=a+bx+d……y=a+bx+d（2），此方程由于未知數(shù)比方程數(shù)多，故不能直接求解，要想得到合理的a、b值，就要根據(jù)最小二乘原理，使y的殘差平方和RSS=?蒡（y-（a+bx））（3）為極小值。由=0和=0，分別可得?蒡（y-（a+bx））=0（4）和?蒡（y-（a+bx））x=0（5），聯(lián)立上式可得：a=（6），b=（7），進一步可得x和y的相關系數(shù)r：r==（8）。

二、LINEST函數(shù)的應用舉例

拉脫法測量液體表面張力系數(shù)實驗是大學物理實驗中的一個經(jīng)典實驗。隨著實驗儀器的更新，傳統(tǒng)的焦利氏稱逐漸作簡便準確度更高的FD-NST-Ⅰ型液體表面張力系數(shù)測定儀所取代，實驗儀器如圖1所示。

在該實驗中，記下吊環(huán)即將拉斷液柱前一瞬間數(shù)字電壓表讀數(shù)值，拉斷時瞬間數(shù)字電壓表讀數(shù)U，便可依據(jù)公式f=（U-U）/b（9）測得液體表面張力f，（9）式中b為硅壓阻力敏傳感器的靈敏度。在力敏傳感器上分別加各種質(zhì)量的砝碼，測出相應的電壓輸出值，結果見表1所示。

力敏傳感器為測力裝置，在拉力小于0.098N時，拉力和數(shù)字電壓表的輸出值成y=a+bx的線性關系，其中b為力敏傳感器的靈敏度。得到b值的過程我們稱為力敏傳感器的定標。在定標過程中需要用最小二乘法擬合儀器的靈敏度b，該計算很繁瑣，但根據(jù)誤差理論此方法最佳，我們可利用Excel軟件中的LINEST函數(shù)進行數(shù)據(jù)處理，方便簡潔不易出現(xiàn)錯誤。

打開Excel軟件，在A欄和B欄分別輸入數(shù)字電壓表的輸出值和砝碼對應的拉力數(shù)值，其中B欄數(shù)值的單位為N，如圖2。

選C、D欄為放計算結果的區(qū)間，鼠標點擊“插入”欄選擇“插入函數(shù)”，彈出“插入函數(shù)”二級界面后，在“或選擇類別”欄選擇“統(tǒng)計”，在“選擇函數(shù)欄”點擊LINEST函數(shù)，如圖3所示。

鼠標點擊確定后進入如圖4所示的界面，在Known_y’s欄輸入A1∶A7，在Known_x’s欄輸入B1∶B7，Const和Stats欄分別輸入true。

按Ctrl+Shift+Enter鍵，便得到了最小二乘法求直線擬合后的數(shù)據(jù)，如圖5所示。其中C1欄顯示為斜率，即經(jīng)最小二乘法擬合后的儀器的靈敏度b，b=3.015×10mV/N。C3欄為擬合的線性相關系數(shù)r=0.9994。

三、結語

通過以上的實例分析可知，在大學物理實驗數(shù)據(jù)處理中，用傳統(tǒng)方法求解一元線性回歸方程的參數(shù)計算量大，容易出現(xiàn)錯誤，學生在處理數(shù)據(jù)時也易產(chǎn)生抵觸心理。合理利用Excel軟件中的LINEST函數(shù)進行數(shù)據(jù)處理，簡單方便，不失為最小二乘法求直線擬合的一種好方法。

參考文獻：

篇（5）

在中學數(shù)學中常遇到一類求函數(shù)最大值、最小值的問題，它是中學數(shù)學教與學中普遍感到困難的一類問題。函數(shù)最值涉及的知識面較廣，方法也靈活多變，訓練思維能力效果好，因此在數(shù)學中占有重要的地位，要學好函數(shù)最值就必須了解和掌握求函數(shù)最值的方法與技巧。函數(shù)最值的基本方法有很多，這章主要介紹代數(shù)法、導數(shù)法、構造法、數(shù)形結合法、引進復數(shù)求函數(shù)最值。

一、配方法

代數(shù)法是中學階段應用最廣泛的方法，它包括配方法、判別式法、換元法、不等式法等。首先，我們介紹配方法。

利用配方法將二次型轉(zhuǎn)化為標準型求函數(shù)最值的方法不僅易于掌握，而且思路清晰，操作簡單，它是求二次函數(shù)最值一種行之有效的方法。配方法及其思想在數(shù)學分析、高等代數(shù)、空間解析幾何等中都有著廣泛的應用。配方法的基本步驟如下：

函數(shù)y=ax2+bx+c，經(jīng)配方得

y=ax+2+，

若a>0，當x=-時，ymin=；

若a

配方法是一種對數(shù)學式子進行定向變形（配成完全平方）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。掌握這一方法關鍵在于合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧。

二、判別式法

判別式法主要是應用方程的思想來解決函數(shù)的最值。它是我們解題時常用的方法，具體的過程如下：

將函數(shù)y=，

改寫成關于x的一元二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，

則它有實數(shù)解x的充要條件是其判別式Δ=b2（y）-4a（y）c（y）≥0，

從而由等式（方程）轉(zhuǎn)化為關于y的不等式，從而求其最大或最小值。在解題中應注意a（y）≠0。

利用判別式法求函數(shù)的最值時應注意兩點：

（1）求函數(shù)的定義域；

（2）對于二次方程的二次項系數(shù)要分零和非零兩種情形。

三、換元法

利用題設條件，用換元的方法消去函數(shù)中的一部分變量，將問題化歸為一元函數(shù)的最值，以促成問題順利解決。求函數(shù)最值的換元法主要有三角換元法和代數(shù)換元法。中學數(shù)學中較常見的是下面兩種形式的換元。

（1）y=ax+b+，令t=，將y轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)，再求最值。

（2）y=asinxcosx+c（sinx±cosx）+c，令t=sinx±cosx，將y轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)，再求最值。

四、不等式法

中學數(shù)學中利用均值不等式求函數(shù)最值是一種基本的、常用的方法。靈活運用均值不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數(shù)最值。均值不等式的運用有三個嚴格的限制條件，即（1）各項均為正數(shù)；（2）積或和是定值；（3）等號能否取到，簡言之“一正二定三相等”，三個條件缺一不可。以下是有關均值不等式兩個定理。

定理1：當a，b∈R+時，則≥，當且僅當a=b時等號成立。

定理2：當a，b，c∈R+時，則≥，當且僅當a=b=c時等號成立。

五、導數(shù)法

導數(shù)法一般用來解決一類高次函數(shù)的最值。

用導數(shù)法求函數(shù)最值的步驟為：

第一步：找出fx在a，b內(nèi)所有可能的極值點，即駐點和一階不可導點；

第二步：求出fx在上述點和兩個端點a與b處的函數(shù)值；

第三步：將函數(shù)值進行比較，最大者即為最大值，最小者即為最小值。

綜上可知，函數(shù)最值內(nèi)涵豐富，解法靈活，沒有通用的方法和固定模式，在解題時要因題而異，而且上述方法并非彼此孤立，而是相互聯(lián)系、相互滲透的，有時一個問題需要多法并舉，互為補充，有時一個題目又會有多種解法，因此，解題的關鍵在分析和思考，因題而異地選擇恰當?shù)慕忸}方法，當一題有多種解法時，應注意選擇最優(yōu)解法。以上就是本文整理出的有關于求函數(shù)最值的一些解法。當然求函數(shù)最值的方法不止這些，這里只是對求函數(shù)最值的方法作部分的歸納，具體的方法還有待去進一步的發(fā)現(xiàn)和總結。

六、結語

函數(shù)最值的方法是數(shù)學解題中既重要又實用的技巧。因此，深刻理解函數(shù)最值，熟練掌握求解函數(shù)最值的方法并在實踐中靈活運用，是我們學好數(shù)學的關鍵。

以上求解函數(shù)最值的方法與應用并不全面，事實上還存在很多有關函數(shù)最值的求解方法和在其他方面上的應用，因此需要不斷更新、研究，以便總結出更多求解函數(shù)最值的方法和更有效地應用這些方法解決函數(shù)最值，讓函數(shù)最值的方法的應用更加廣泛。

參考文獻：

篇（6）

利用三角函數(shù)的有界性求三角函數(shù)的最值，關鍵在于應用三角函數(shù)的公式、性質(zhì)將三角函數(shù)式化為復角的單名函數(shù)式或某些已知其最值的三角函數(shù)，如|sinx|≤1、|cosx|≤1、|ctgx|≥2，…等基本形式。

例1 求函數(shù)y=的最值。

解：去分母得，3sinx+2ycosx=1-5y，整理得：sin（x+le）=1-5y。

其中l(wèi)e=arctg，即sin（x+le）=。

|sin（x+le）|≤1，≤1。

整理得，21y2-10y-8≤0。

解得≤y≤，故ymax=，ymin=。

例2 求函數(shù)y=（cosx+sinx）（cosx+sinx）。

解：y=sin2x+cos2x+（+1），sinxcosx=sin2x+cos2x+=2sin（2x+le）+。

其中l(wèi)e由cosle=，sinle=決定。

又因為 -1≤sin（2x+le）≤1，所以≤y≤。

即 ymax=，ymin=。

二、用變量代換法求最值

求三角函數(shù)的最值時，有時選取適當?shù)淖兞看媸街械娜呛瘮?shù)式，能使問題迎刃而解。但作變量代換時要特別注意式中變量的取值范圍。

例3 求函數(shù)y=的最值。

解：令t=sinx+cosx，（t≠-1），則sinxcosx=。

t=sin（x+），-2≤t≤， 且（t≠-1）。

又y==（t-1），由此可得，ymax=，ymin=-。

例4 求函數(shù)y=-cos2x-4sinx+6的最值。

解：把原函數(shù)變形得y=sin2x-4sinx+5。

設sinx=t （-1≤t≤1），

則得，y=t2-4t+5=（t-2）2+1。

又-1≤t≤1，當t=1時，ymin=2。

當t=-1時，ymax=10。

三、應用平均值不等式求最值

應用平均值不等式來求三角函數(shù)的最值，關鍵在于恒等變形，把三角函數(shù)式變?yōu)槟軕闷骄挡坏仁降幕拘问健?/p>

例5 求函數(shù)y=+（a>b>0，0

解：y=+=a2（1+tg2x）+b2（1+ctg2x）=a2+b2+（a2 tg2x+b2ctg2x）≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=（a+b）2，當且僅當atgx=bctgx，即tg2x=，tgx=時，ymin=（a+b）2。

四、利用幾何圖形性質(zhì)求最值

利用幾何圖形性質(zhì)求最值的特點是直觀、簡潔，將最值問題轉(zhuǎn)化為求直線的斜率問題，求形如y=的最值關鍵在于把F（f（θ），yθ）=0看作一條曲線的方程，那么y=等于曲線上的動點A（f（θ），g（θ））與定點B（-a，-b）的斜率KAB，要求y的最值，只需在曲線上找一點，使KAB最大或最小。

例6 求函數(shù)y=的最值。

篇（7）

一、靈活應用不等式轉(zhuǎn)換

例1.設 且 ，求 的最大值。

分析：注意到 不是定值，而條件 中無根號，因而想到去掉根號湊成 的形式。

一般的：當 且 ，則 的最大值是 （其中 都是常數(shù)）

此例可見靈活應用不等式并不是無目標的猜想，其要求我們不墨守陳規(guī)，化生疏為熟悉，在推理過程中做到嚴密正確。

二、合理使用配方法

例2.求函數(shù) 的最值。

在應用配方法前，注意隱含條件的思維方法，不可盲目使用導致最值的擴大或縮小，注意條件的嚴密性。

三、充分利用數(shù)形結合

例3.求函數(shù) 的最小值

① 選取坐標的科學嚴謹性

② 轉(zhuǎn)化數(shù)學思維的靈活性

四、謹慎使用判別式法

例4.求函數(shù) 的最值

① 用判別式法求函數(shù)最值時，解 0中，其“>”與“=”有一個成立即可。故寫出最值時，務必考慮到它的“極端”情況“=”能否成立。

② 由于函數(shù)到方程，中間將有個變形（不一定是恒等變形）過程，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關于 的二次方程，在解關于 的不等式。

③ 若忽視隱含條件就容易出錯，故務必考慮到其函數(shù)本身的取值，應謹慎使用。

五、合理使用換元法

當已知函數(shù)的次數(shù)較高，則想方設法降次是必須解決的任務。所以應用換元將是一個有力的工具。

例5.求函數(shù) 的最值。

六、奇妙的增量代換法

例6.求函數(shù) 的最大值和最小值。

解：函數(shù) 的定義域是 。所以 是4與一個增量之和，且這個增量在 內(nèi)取值。

當 時， 取得最大值2；

當 時， 其的最小值1。

利用增量代換法取得來解決和處理最值問題，是中學數(shù)學中的一種重要方法，可表現(xiàn)出奇妙的作用。

七、利用導數(shù)求最值

例7.一個容器，下半部是圓柱上半部是半球，且圓柱底面半徑和半球的半徑相等；設容器的表面積為s，問圓柱的高與底面半徑之比為何值時，容器的容量最大？

解：設圓柱的高為h。底面半徑為R，則

（1）

容器的容積 （2）

把（1）代入（2），整理得

令 ，即 解得 （舍去負值）。

經(jīng)檢驗，這個R值能使V有最大值，代入（1）得

故當 時，容器容積最大。

八、應用函數(shù)求最值

例8.已知 所在平面內(nèi)有一條直線 過其直角頂尖 ，且 在直線的同一側，求 以 為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的最大體積。

解：所得旋轉(zhuǎn)體的體積等于一個圓臺的體積減去一個小圓錐和一個大圓錐的體積，分別通過A.B做 的垂線，垂足為D.E，設圓臺上、下底面半徑分別為 ，大、小圓錐的高分別為 ，設 ，則

故所得旋轉(zhuǎn)體的體積為

上兩例，不管用導數(shù)還是有界函數(shù)求最值，都選擇了某一幾何量作為自變量，建立函數(shù)解析式。這是求最值問題的一種有效方法。

九、以市場經(jīng)濟為背景

例9.某旅行社在某地組織旅游團到北京參觀，共需6天，每人往返機票、食宿費、參觀門票等費用共需3200元，如果每人收費標準為4600元。則只有20人參加旅游團；高于4600元時，沒有人參加，如果每人收費標準從4600元降低100元，參加旅游團人數(shù)就增加10人；試問：每人收費標準定為多少時，該旅行社所獲得利潤最大？

（職高教材基礎版第一冊P137第32題）

解這類營銷應用問題需理解有關名詞的含義，如“利潤=銷售價-成本價”，掌握有關函數(shù)及計算方法：

解：設每人收費標準為 元 ，則收費標準下降了4600- 元，旅游團人數(shù)增加了 人，根據(jù)題意得利潤 （元）與收費標準 （元）的函數(shù)關系式：

整理得：

當 =4000元時， =6400元

答：當收費標準定為4000元時，該旅行社所獲得利潤最大，最大利潤為6400元。

綜上各例，無論用哪種方法求最值，奇妙的規(guī)律性是解決最值問題的關鍵；我們在教學中應積極培養(yǎng)學生的洞察能力來處理不同題型，才能進一步提高數(shù)學教學的質(zhì)量。

參考文獻

[1] 蘇居寧.《立體幾何中的最值問題》《中學數(shù)學研究》1996-8

[2] 邱志明.《關于函數(shù)最值問題的教學》.《中學數(shù)學研究》2003-10

篇（8）

一、引言

最值問題是數(shù)學領域中的重要組成部分，更是函數(shù)研究中尤為重視的一塊分支。它貫穿于多個學科中，更是被頻繁的應用于一些日常生活中各種實際問題的解決，而其解法又具有多樣性和靈活性，函數(shù)最值問題本質(zhì)是求取具體問題的最優(yōu)解，對于不同的最值問題，采取的解決辦法都不盡相同，但其整個解題的思維方式都是通過一次或多次的轉(zhuǎn)化，使其轉(zhuǎn)化為相對簡單的問題去求解。因此，本文通過對函數(shù)最值常見解法的探究，闡述了函數(shù)最值問題解法研究的重要性，并結合生活中的實例，進一步加強對函數(shù)最值問題解法的靈活運用，并分析總結出求解最值問題時應注意的一些問題，對后人的學習和研究奠定基礎。

二、函數(shù)最值常見解法

（一）定義法：關鍵在于抓住定義中的“任意性”和“存在性”。

（二）配方法：主要針對二元函數(shù)的一般形式[1]，即

四、結束語

本文介紹了幾種常見的有關函數(shù)最值問題的解法，并結合實際給出了生活中不同方面的關于最值的實例，將生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學思維來求解，同時探討了解題時需要注意的細節(jié)，總結出求解問題的關鍵在于找準變量關系選擇合適方法，因此靈活的運用函數(shù)最值的解法是至關重要的，通過它解決的不僅是學業(yè)上的課題，而且它將在解決實際問題中扮演著一個至關重要的角色。

篇（9）

1、配湊法

例1．已知函數(shù) ，求y的最小值

解：因為 ， ，所以 ，當且僅當 即 時取等號。所以，當 時 。

變式1：函數(shù) ，求y的最大值。

解：因為 ，所以 ，則 -4

，當且僅當 即 時，等號成立，故 -6。

變式2. 當 時，求 的最大值。

解：因為 ，所以 ，

，當且僅當 即 時取等號。所以，當 時

評析：當題目中給定的函數(shù)形式往往比較簡單，但不符合直接使用基本不等式時，就需要對函數(shù)式用“拆、拼、湊，合”等方法，創(chuàng)造基本不等式的條件和形式，并且在運用基本不等式后有取等號的條件。以上三個例題的函數(shù)式都不能直接利用基本不等式求最值，故需要通過拆或拼來創(chuàng)造運用基本不等式的情境。如（1）中 與 的乘積不是定值，看似無法用基本不等式求解，若將 拆成 即可。（2）可配成 (3)中 與 的和不是定值，若將 拆成 即可。

2、拆項法

例2 已知函數(shù) ， 求y的最小值。

解：因為 ，所以

當且僅當 即 時，等號成立，故 。

評析：本題采用了拆項法將式子進行了變形，然后把分子分母同除以一個含自變量的式子，使分子變?yōu)槌?shù)，此時可對分母使用基本不等式。

3、換元法

例3 求函數(shù) 的最小值。

解：因為 :所以， ，則 ，所以，

，

當且僅當 ，函數(shù)的最小值是 。

評析：本題采用了換元法，將原式轉(zhuǎn)化為可以使用基本不等式求最值的形式。

4、常值代換

例4 已知 且 ，求 的最小值。

解：因為

,當且僅當 即 時，等號成立。

所以，當 時，有最小值是16.

變式訓練 已知正數(shù) 滿足 ，求 的最值。

解：將條件 等價轉(zhuǎn)化為 后，常值代換處理即可。

例5 設 ， 為正常數(shù)，則函數(shù) 的最小值是

解析： 本題考查 及“1”的代換等知識，可將原式寫成

當且僅當 ，即 時等號成立。

所以函數(shù) 的最小值是

評析：有些代數(shù)式含有兩個以上的變量，但這些變量又必須同時滿足某些條件，在運用基本不等式求其最值時，往往需要結合這些變量所滿足的條件和所求最值的代數(shù)式的特點進行分析，通過適當?shù)淖冃蝸砝没静坏仁角笞钪担@類問題也往往可以通過代換消元轉(zhuǎn)化為某個變量的函數(shù)形式來求最值。以上幾題均采用了常量1的整體代換，通過這種變形可以轉(zhuǎn)化表達形式，創(chuàng)造出可用基本不等式解答的條件。

5、重復使用基本不等式

例6 已知二次函數(shù) （ ）的值域為 ，求 的最小值是

解：由題意知： 即 ,因為 ，

當且僅當 時等號成立，所以 的最小值是10.

評析：本題連續(xù)兩次使用基本不等式，等號成立的條件都是 ，原題的等號成立，所以3是最小值，因此，特別注意：在連續(xù)使用基本不等式時，等號成立的條件一定要一樣。

6、平方后使用基本不等式

例7 已知 為銳角，求函數(shù) 的最大值。

解：因為 為銳角，所以 為正數(shù)，所以

= 。所以 的最小值是 ，則

7、整體代換

例8 若正數(shù) 滿足 ，則 的取值范圍是

解：由已知 得 ，即

篇（10）

中圖分類號： G427 文獻標識碼： A 文章編號： 1992-7711（2013）22-091-1

函數(shù)最值定義：函數(shù)最值：一般地，設函數(shù)的定義域為A.若存在x0∈A，使得對于任意x∈A，有f（x0）≥f（x）恒成立，則稱f（x0）為函數(shù)f（x）的最大值，記為f（x）max=f（x0）；若存在x0∈A，使得對于任意x∈A，有f（x0）≤f（x）恒成立，則稱f（x0）為函數(shù)f（x）的最小值，記為f（x）min=f（x0）.

分式三角函數(shù)最值求解方法很多，現(xiàn)主要歸納為以下幾點：1.拆項觀察；2.反解法；3.數(shù)形結合法；4.應用函數(shù)單調(diào)性求解法.如何求函數(shù)y= sinx-2 2sinx+3 的最值.

一、拆項觀察法

分析 可將原式化為整式和分式兩部分，其中分式部分：分子是常數(shù)、分母是關于變量sinx的多項式.

解 在原函數(shù)僅含有變量sinx，于是原函數(shù)可進行如下整理：

y= sinx-2 2sinx+3 = 1 2 （2sinx+3）- 7 2 2sinx+3 = 1 2 - 7 4sinx+6 .

又由-1≤sinx≤1知2≤4sinx+6≤10，

于是有- 7 2 ≤- 7 4sinx+6 ≤- 7 10 ，

所以 -3≤y≤- 1 5 .

因此 ymin=-3，ymax=- 1 5 .

二、反解法（三角函數(shù)有界性）

對于求形如y= ct+d at+b （其中t為三角函數(shù)）分式最值問題，可用反解法，即把原分式y(tǒng)= ct+d at+b 整理成t=- by-d ay-c ，然后由t的有界性得出y的取值范圍.

例2 求y= sinx-2 2sinx+3 的最值.

解 用反解法，由y= sinx-2 2sinx+3 得y?（2sinx+3）=sinx-2，

可整理為 sinx= -3y-2 2y-1 ，

由|sinx|≤1知 -3y-2 2y-1 ≤1，

易解得 -3≤y≤- 1 5 .所以 ymin=-3，ymax=- 1 5 .

三、數(shù)形結合法（斜率與兩點之間的距離有兩種情形）

數(shù)形結合法即將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來處理.根據(jù)所給表達式的特點，在坐標平面上考慮各種曲線間的關系，以獲得該三角函數(shù)問題的最值.

例3 y= sinx-3 cosx-2 的最值.

解 設P（cosx，sinx），Q（2，3）即y是直線PQ的斜率的取值范圍點P的軌跡是圓a2+b2=1，即求圓上點與Q點連線斜率最值.由圖知當PQ與圓相切時，斜率取得最值.

設PQ的方程為y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0.

由相切條件得原點到直線的距離等于1得

|3-2k| 1+k2 =1，即k= 6±2 3 3 .

因此

ymin= 6-2 3 3 ，ymax= 6+2 3 3 .

注 此題中點P的軌跡，若是直線又如何呢？例8將為你介紹.

四、應用函數(shù)單調(diào)性求解法

例4 求f（x）= x+sinx 2+cosx （0≤x≤ π 2 ）的最值.

分析 可先證明f（x）在[0， π 2 ]上是單調(diào)增函數(shù).

解 設x1，x2∈[0， π 2 ]，且x1

f（x1）-f（x2）= x1+sinx1 2+cosx1 - x2+sinx2 2+cosx2 =

2（x1-x2）+2（sinx1-sinx2）+sin（x1-x2）+x1cosx2-x2cosx1 （2+cosx1）（2+cosx2）

< 2（x1-x2）+2（sinx1-sinx2）+sin（x1-x2）+（x1-x2）cosx1 （2+cosx1）（2+cosx2）

所以

f（x1）

因此f（x）min=f（0）=0，f（x）max=f（ π 2 ）= π+2 4 .

注 此種解法僅實用于函數(shù)在給定區(qū)間是單調(diào)函數(shù).

以上探討了多種求分式三角函數(shù)最值的方法，由于三角函數(shù)最值問題題目類型的多樣性，在求此類問題時，我們會發(fā)現(xiàn)其中許多題型的解法并不唯一，一題可能有多種方法求解.諸多方法也并非是獨立的，解一道題目可能會應用多種方法，才能最終解出最值.并且在求解的過程中，我們要學會進行轉(zhuǎn)化的思想.也許所給題型不是以上列舉的類型，但是我們需要判斷是否能夠轉(zhuǎn)化為已知類型的問題來求解，這就需要我們有一定的轉(zhuǎn)化變換技巧和思想.因此，在解此類問題時不僅要靈活運用三角變換的方法和技巧，還要充分注意代數(shù)知識和幾何知識的運用，以提高解決此類問題的能力.