數學復習總結匯總十篇

序論：好文章的創作是一個不斷探索和完善的過程，我們為您推薦十篇數學復習總結范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

2.一元二次方程3x2+4x-2=0的一次項系數為4，常數項是-2.

3.一元二次方程3x2-5x-7=0的二次項系數為3，常數項是-7.

4.把方程3x(x-1)-2=-4x化為一般式為3x2-x-2=0.

知識點2：直角坐標系與點的位置

1.直角坐標系中，點a(3，0)在y軸上。

2.直角坐標系中，x軸上的任意點的橫坐標為0.

3.直角坐標系中，點a(1，1)在第一象限.

4.直角坐標系中，點a(-2，3)在第四象限.

5.直角坐標系中，點a(-2，1)在第二象限.

知識點3：已知自變量的值求函數值

1.當x=2時,函數y=的值為1.

2.當x=3時,函數y=的值為1.

3.當x=-1時,函數y=的值為1.

知識點4：基本函數的概念及性質

1.函數y=-8x是一次函數.

2.函數y=4x+1是正比例函數.

3.函數是反比例函數.

4.拋物線y=-3(x-2)2-5的開口向下.

5.拋物線y=4(x-3)2-10的對稱軸是x=3.

6.拋物線的頂點坐標是(1,2).

7.反比例函數的圖象在第一、三象限.

知識點5：數據的平均數中位數與眾數

1.數據13,10,12,8,7的平均數是10.

2.數據3,4,2,4,4的眾數是4.

3.數據1，2，3，4，5的中位數是3.

知識點6：特殊三角函數值

1.cos30°= .

2.sin260°+ cos260°= 1.

3.2sin30°+ tan45°= 2.

4.tan45°= 1.

5.cos60°+ sin30°= 1.

知識點7：圓的基本性質

1.半圓或直徑所對的圓周角是直角.

2.任意一個三角形一定有一個外接圓.

3.在同一平面內，到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓.

4.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等.

5.同弧所對的圓周角等于圓心角的一半.

6.同圓或等圓的半徑相等.

7.過三個點一定可以作一個圓.

8.長度相等的兩條弧是等弧.

9.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等.

10.經過圓心平分弦的直徑垂直于弦。

知識點8：直線與圓的位置關系

1.直線與圓有唯一公共點時,叫做直線與圓相切.

2.三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心.

3.弦切角等于所夾的弧所對的圓心角.

4.三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心.

5.垂直于半徑的直線必為圓的切線.

篇（2）

在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構成一個圓系，一個圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。常用的圓系方程有如下幾種：

⑴以為圓心的同心圓系方程

⑵過直線與圓的交點的圓系方程

⑶過兩圓和圓的交點的圓系方程

此圓系方程中不包含圓，直接應用該圓系方程，必須檢驗圓是否滿足題意，謹防漏解。

當時，得到兩圓公共弦所在直線方程

例1：已知圓與直線相交于兩點，為坐標原點，若，求實數的值。

分析：此題最易想到設出，由得到，利用設而不求的思想，聯立方程，由根與系數關系得出關于的方程，最后驗證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關系，不難得出在以為直徑的圓上。而剛好為直線與圓的交點，選取過直線與圓交點的圓系方程，可極大地簡化運算過程。

解：過直線與圓的交點的圓系方程為：

，即

………………….①

依題意，在以為直徑的圓上，則圓心（）顯然在直線上，則，解之可得

又滿足方程①，則

故

例2：求過兩圓和的交點且面積最小的圓的方程。

解：圓和的公共弦方程為

，即

過直線與圓的交點的圓系方程為

，即

依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上。即，則代回圓系方程得所求圓方程

例3:求證：m為任意實數時，直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒過一定點P，并求P點坐標。

分析：不論m為何實數時，直線恒過定點，因此，這個定點就一定是直線系中任意兩直線的交點。

解：由原方程得

m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①

即，

直線過定點P（9，－4）

注：方程①可看作經過兩直線交點的直線系。

例4已知圓C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.

（1）證明：不論m取什么實數，直線l與圓恒交于兩點；

（2）求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程.

剖析：直線過定點，而該定點在圓內，此題便可解得.

（1）證明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.

得

m∈R，

2x+y－7=0，

x=3，

x+y－4=0，

y=1，

即l恒過定點A（3，1）.

圓心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半徑），

點A在圓C內，從而直線l恒與圓C相交于兩點.

（2）解：弦長最小時，lAC，由kAC＝－，

l的方程為2x－y－5=0.

評述：若定點A在圓外，要使直線與圓相交則需要什么條件呢？

思考討論

類型二：直線與圓的位置關系

例5、若直線與曲線有且只有一個公共點，求實數的取值范圍.

解：曲線表示半圓，利用數形結合法，可得實數的取值范圍是或.

變式練習：1.若直線y=x+k與曲線x=恰有一個公共點，則k的取值范圍是___________.

解析：利用數形結合.

答案：－1＜k≤1或k=－

例6

圓上到直線的距離為1的點有幾個？

分析：借助圖形直觀求解．或先求出直線、的方程，從代數計算中尋找解答．

解法一：圓的圓心為，半徑．

設圓心到直線的距離為，則．

如圖，在圓心同側，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意．

又．

與直線平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意．

符合題意的點共有3個．

解法二：符合題意的點是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點．設所求直線為，則，

，即，或，也即

，或．

設圓的圓心到直線、的距離為、，則

，．

與相切，與圓有一個公共點；與圓相交，與圓有兩個公共點．即符合題意的點共3個．

說明：對于本題，若不留心，則易發生以下誤解：

設圓心到直線的距離為，則．

圓到距離為1的點有兩個．

顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距離，，只能說明此直線與圓有兩個交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為1．

類型三：圓中的最值問題

例7：圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是

解：圓的圓心為（2，2），半徑，圓心到直線的距離，直線與圓相離，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是.

例8　(1)已知圓，為圓上的動點，求的最大、最小值．

(2)已知圓，為圓上任一點．求的最大、最小值，求的最大、最小值．

分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點的坐標，可考慮用圓的參數方程或數形結合解決．

解：(1)(法1)由圓的標準方程．

可設圓的參數方程為（是參數）．

則

（其中）．

所以，．

(法2)圓上點到原點距離的最大值等于圓心到原點的距離加上半徑1，圓上點到原點距離的最小值等于圓心到原點的距離減去半徑1．

所以．

．

所以．．

(2)

(法1)由得圓的參數方程：是參數．

則．令，

得，

．

所以，．

即的最大值為，最小值為．

此時．

所以的最大值為，最小值為．

(法2)設，則．由于是圓上點，當直線與圓有交點時，如圖所示，

兩條切線的斜率分別是最大、最小值．

由，得．

所以的最大值為，最小值為．

令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值．

由，得．

所以的最大值為，最小值為．

例9、已知對于圓上任一點，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

設圓上任一點

，

恒成立

即恒成立．

只須不小于的最大值．

篇（3）

在小學數學教學中，解決問題是一個非常重要的問題，同時也是教學過程的難點問題。所以說，在小學數學總復習過程中，解決問題的復習是一個至關重要的方面。解決問題的系統復習能夠有效地幫助學生進行數學的學習，使學生更好地對概念進行理解，并使學生對數量之間的關系更加深入地掌握，從而提高并培養了學生的分析能力，使其解決問題的能力得到有效的提高。本文針對小學數學解決問題總復習進行了深入的探討，介紹了當前我國小學數學解決問題教學中的問題，并針對這些問題提出了有效的策略。

一、小學數學解決問題教學的問題分析

1.過度地進行情境創設

在當前小學數學的教學過程中，很多教師絞盡腦汁地進行情境創設，將過多的精力放在了打造生動有趣的課堂氛圍之上，課堂確實變得活躍了，但是創設情境的目的卻并沒有體現出來，無論具體的內容是什么，過于片面的對情境的追求，已經與教學的目標和教學的內容脫離了。

2.不能準確地把握教材

在新教材中，應用題被當作第一情境，進行實際教學的過程中，第一情境僅僅被一些教師當作導入手段，或者是“敲門磚”。在學生進行數學模型的構建過程中，很多教師不能準確把握應用題的作用。他們只關注活動的過程，而沒有對學生構建數學模型進行適當的指導，這就導致在每一次活動中學生僅僅作為一個“個案”存在，教師并沒有進行正確的“梳理”和“整合”，也沒有對學生進行數學模型的探索和構建給予積極引導。

3.全盤否定傳統的教學方式

根據新課程改革的要求，教師轉變了原有的教學理念，這種轉變是非常巨大的，很多教師甚至全盤否定傳統教學的精華，另辟蹊徑尋求全新的教學方法。傳統的教學方法并非一無是處，經過多年的摸索和探究，傳統教學方法讓小學數學解決問題的教學具有很多值得學習和沿用的亮點。傳統的方法中強調了審題的重要性，給予分析解決問題數量關系極大的重視，尤其是對學生進行訓練，使其將未知量與已知量之間的關系進行認真的分析，從而將數量關系抽象出來。當然，傳統的解決問題教學也存在一些問題，在教學過程中，教師過分依賴教材，不能充分發揮主導作用。因此，在現代小學數學教學中，教師必須能夠認清傳統教學方式的優缺點，取其精華，去其糟粕，加強培養學生的創造性思維以及獨立性思維。

二、小學數學解決問題總復習策略

1.對基礎訓練進行強化，使學生對數量關系有深入的理解

對加法、減法、乘法、除法的基本應用就是所謂的基本數量關系。如，求一個數的幾倍，選用乘法；求一個數的幾分之幾，選用除法；求兩個量的和，選用加法等。還有功效、總量和時間之間的關系，總價、單價和數量之間的關系，路程、速度以及時間之間的關系等。所有的復合解決問題都是一步應用題經過一定的邏輯關系排列組成的，所以解答解決問題的關鍵問題就是掌握基本的數量關系。進行復習的過程中，為了使學生的基礎知識得到強化，可以進行一些補充條件的問題和練習。

2.對知識進行綜合的運用，使解題思路拓寬

學生只有對所學知識進行綜合的運用，才能對解決的問題進行正確的解答。解決問題通常使用的方法主要有兩個，即綜合法和分析法。當今小學數學教學過程中，更側重于對分析法的傳授。如：趙師傅打算加工820個零件，已經工作了2天，每天平均做60個，剩下的零件要想10天做完，每天平均需要做多少個？針對這個問題進行分析，首先要考慮，只有知道工作的天數以及剩下的零件個數才能求得每天平均做多少個，由于天數已知，接下來要分析剩下的零件個數，因此，必須知道已經加工的零件個數，經過簡單的一步應用題的疊加，從而使復合解決問題得到了解答。

3.系統地進行整理歸納，建立知識網絡

篇（4）

這一環節主要抓好學生的雙基工作，因為在高考數學中不管是低檔題、中檔題還是難題都離不開“雙基”的應用，甚至一些題目是課本上基本題目的直接引用或稍作變形而得來的。如課本中“數列”這一章有詳細推導等差數列和等比數列前n項和公式的過程，但學生往往只注意記公式，用公式，而不重視推導過程的學習，通過舉實例使學生了解到這兩個典型數列的前n項和公式的推導運用了“倒序相加法”和“錯位相加法”兩種不同的方法，為我們在數列求和的解題中提供了思路和方法，所以在復習時，要重視課本，尤其要重視重要概念、公式、法則的形成過程和例題的典型作用，并圍繞解題訓練，讓學生通過練習達到靈活應用、觸類旁通的效果。同時注意以下兩點：

（1）上課時要注重課前精心選題，重視講解，更重視學生的親歷行為，充分暴露思維過程，注重規律的概括總結與優選能力的培養，注重一題多解和多題一解。上課采用題組法教學和讓學生練習，既利用了教材例、習題，設計題組和訓練，引導學生深刻理解教材實質，挖掘教材內涵，又利用了課本輻射整體，實現“由內到外”的突破。

（2）做好練習的反饋工作，這里包括學生對自己的反饋和教師的反饋，讓學生作自我分析，這地方為什么會產生錯誤，是概念不清還是計算錯誤，方法選擇上錯誤，還是非智力因素所致。對一些重要的錯誤要建立一種預防措施，可以動手建“錯解檔案”，也可讓學生進一步反思，命題人考查意圖，題目蘊含什么數學原理和思想，能否舉一反三，能否方法上更新，從而進一步解決“會而不對，對而不全，全而不美”的知識原因、策略原因、邏輯原因、心理原因。另外教師從反饋中可清楚地意識到班級整體的薄弱環節、缺陷，從而有針對性的選擇強化內容，作重點講授，也可通過反饋得知學生的優劣分布來實行個別輔導。

二、構建知識網、在專題復習中滲透數學思想方法

在抓好第一環節的基礎上將高中階段所學的數學知識進行系統整理，用簡明的圖表形式把基礎知識進行有機的串聯，構建成知識網絡，使對整個高中數學體系有一個全面的認識和把握，以便于知識的存儲，提取和應用，也有利于思維品質的培養和提高。對有關重點，難點，弱點、熱點內容做專題復習并滲透各種數學思想方法，如“怎樣解選擇題？”、“排列組合問題的基本類型及解法”、“含有參數的不等式的解法”、“三角函數的圖象變換及應用”等，進行專題課復習時，精選例題，采用學生先做，教師后講或啟發式教學，在解題中立足通法，兼顧巧法，注重化歸、整體、分類、數形結合等數學思想方法的滲透，恰當方法的選擇可以提高解題速度和準確率，如一些問題，若僅僅用純代數的方法幾乎無從下手，但用數形結合思想來解既能避免繁雜的計算與推理，又能通過圖形直觀地考證結論是否完整。

專題的選取可包括：

(1)全面復習過程中反映出來的弱點。

(2)教材體系中的重點。

(3)近年高考試題中的熱點。

(4)基本數學思想方法的系統介紹.如配方法、換元法、反證法、待定系數法、數學歸納法，以及函數與方程思想、數形結合思想、等價轉換思想、分類討論的思想等。

(5)解題應試技巧.如怎樣解選擇題，怎樣解填空題，怎樣解應用題，怎樣解探索性問題。

(6)綜合專題.聯系實際數學問題的對策，綜合題的分解戰術，如何有效的做選擇題、綜合題，數學中的分情況處理，談談書寫表達——怎樣寫才不丟分.談談計算的優化，近幾年高考題中有新意題的命題特點等。

為進一步鞏固基礎，可通過單元過關、查缺補漏基本題型的解法總結和強化訓練來滲透各種思想方法，適度綜合，歸類整理，每兩周一套綜合測試題（定時定量），滾動復習，縮短復習間隔，提高重現頻率，在滾動中領悟和宏觀把握知識體系，這個階段，題目的深度、難度、靈活度提高了，要求理解能力、解題能力也隨之提高。

三、加強綜合訓練，認真上好講評課

這一環節也就是所說的沖刺階段，它以模擬訓練為主。模擬訓練是高考之前的熱身賽.模擬訓練不要盲目，重點應放在數學觀點的提煉和心理素質的調整上.不是不要做題，相反，確實要做幾套切合實際的適應性訓練題，但目的不是猜題押題，而是通過講練結合提高解題能力，應該在學生做模擬試題和教師講解中突出四點：

(1)解法的發現，即講清解法是怎樣找到的，思路是怎樣打通的，是什么促使你這樣想、這樣做的。

篇（5）

內容多，任務重，時間緊是總復習中的一個突出矛盾，根據近幾年來的教學實踐，我認為復習時我們不能按部就班地照書本編排教學知識，應該有效合理地復習基礎知識，內化知識結構，激發學生積極主動的參與學習活動，激發學生的求知欲望和學習興趣。因此要根據學生掌握知識的情況，突出教學重點難點，合理安排教學進程。

二、優化課堂教學

（一）、備好課、上好課、提高課堂教學質量

我認為要提高教學質量，備好課、上好課是關鍵。要想提高教學質量，必須上好課，讓教學目標落到實處。而要上好課就要備好課，只有做充分的課前準備，課才能上好。怎樣才能備好課呢？我認為備課時，不僅要鉆研教材，精心設計課堂教學思路，而且還要深入了解學生，站在學生的角度去思考問題，設計出兒童能夠接受的教學方法。

（二）、優化師生關系

長期以來，教學一向強調“師道尊嚴”。在課堂上，教師往往居高臨下，采取“教師講，學生聽，”“教師演，學生看”，“教師寫，學生抄”的做法，學生處于被動的狀態，成了接受知識的“容器”。提高教學質量：首要的任務是要擺正師生以往不平等的關系，創設寬松和諧的教學氛圍。在小學，由于小學生的心理還極不成熟，教師的言行對學生的影響會產生很大的正向作用。所以在課堂上，教師應該是學生的組織者和合作者，語言應該友善親切，態度應該和藹可親，教師要成為學生的好朋友，老師與學生是平等和民主的關系。教師首先要放下架子，與學生多溝通，跟他們交朋友，在生活上、學習上都關心他們，從而激起對老師的愛，對數學的愛；其次，教學要平等，要面向全體施教，不能偏愛極少數學習成績好的學生，而對一部分學習有困難的學生卻漠不關心。要成為學生的好朋友，教師就與學生一起玩，一起學，互動互學，知學生所想，急學生所急，幫學生所忙。在課堂里，教師包辦的事情要盡量少一些，學生主動學習的機會要盡量多一些，師生共同融入情境教學中去，營造一個和諧民主的學習氣氛。課堂成為師生心靈交融、情感呼應的園地。這時，教師才真真正正地成為學生的良朋知己。良好的師生關系與和諧愉快的課堂教學氣氛是學生敢于參與的先決條件。學生只有在不感到壓力的情況下，在喜愛所教老師的前提下，才會樂于學習。

（三）、趣味化導學

小學生年齡小，自制力差，學習時心理因素影響占主導地位。教師只有遵循學生心理活動的規律，把學科特點和年齡、心理特征結合起來才能使學生愿意學、主動學。我認為在總復習中應挖掘與生活息息相關的數學問題引導學生通過自己親身實踐，體驗到數學知識在生活中的實際應用，從而提高學習的熱情，進而逐步明確學習的意義，對探求數學知識產生了樂趣，就能一直保持積極進取的態度，獲得優良的成績。

（四）、用“活”教材

數學源于生活，生活中又充滿著數學。在數學教學中，我們要緊密聯系學生的生活實際，在現實世界中尋找數學題材，讓教學貼近生活，讓學生在生活中看到數學，摸到數學。把生活中的鮮活題材引入學習數學的大課堂。如改革家庭作業形式，突出應用性操作。如統計這一章節的復習讓學生利用課余時間多去收集、整理、分析數據。運用所學的統計知識解決相關的實際問題。這樣的學習能更牢固的理解知識。又如在復習空間與圖形時，不但要讓同學在紙上操作，更重要的是在課堂上引導學生經歷測量、分析、數學模型的建構、解決問題的過程。

三、抓住重點、突破難點

A、鞏固基礎知識

B、突出能力教學

C、培養學生解決問題的能力

D、專題訓練，各個擊破

針對學生容易發生普遍性錯誤和個別性錯誤的知識點，我采用典型反饋和個別反饋相結合，加強針對訓練，展開專題復習方式，各個擊破的復習思路.

四、重視培養學生良好的學習習慣

葉圣陶先生說：“教育就是培養習慣，把良好的學習習慣轉化為學生內在的需要或傾向，那就是教育的成功”。數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具，是一切重大技術發展的基礎。數學在提高人的各種能力方面都存在不可缺少的作用，所以養成良好的學習習慣對于任何一個人未來的學習、成長都有極其重要的作用，對提高教育教學質量有重要的現實意義，對培養學生創新精神和實踐能力有著深遠的歷史意義。所以從小學階段就應該開始培養學生良好的學習習慣。但是良好的學習習慣不是一朝一夕養成的，貴在長久堅持，不但需要學生的堅持，也需要老師的堅持。只有兩者互不放松才能取得持之以恒的效果。

五、寫好教學反思，提高教學質量。

任何教師在教學活動中都有成功的經驗，也都有失敗的教訓。無論是經驗還是教訓，對教育工作者來說都是需要積累的財富。上完一課后，及時分析，總結這節課的成敗得失，并簡明扼要地寫在教案的后面，這是幫助教師及時調整教學方法，改進教學措施的重要依據，是積累教學經驗的具體素材，是提高教學質量的有效法寶。教學反思的內容涉及到教學工作的方方面面。比如說：全體學生對知識的掌握情況怎樣？情感、能力、知識等方面是否達到要求？教學中你突然得了什么靈感？學生提出了哪些你意想不到的問題……

當然，寫教學反思不可能面面俱到，但最重要應當從以一節課的成功之處與失誤之處著手、總結。

六.加強家校溝通

篇（6）

二、復習中，應做到以下幾點：

1.明確目標。總復習是小學階段最高層次的復習，要達到教學大綱的各項要求，因此教師應幫助學生進行系統整理，把零碎的知識由點連成線、由線織成網、由網組成塊，形成一個比較完整的知識結構網絡。復習的內容、目標和要求一定要明確。一些基本概念、定理等要向學生表達清楚。對復習的知識要讓學生明確哪些內容該掌握到什么程度，是達到只知道、懂、會用，還是能靈活運用？還要讓學生知道哪些知識屬于重點、難點、疑點。這樣能讓學生在復習時對知識點中的重點有所側重，難點有所突破，疑點有所解決。

2.巧妙用法。復習是學生對學過的知識進行回顧，一般無新鮮感，學生難免產生厭煩情緒。因此，教師在進行復習教學時，應注意花心思為學生創設趣味性的課堂。比如，對復習中的疑難問題開展激烈的辯論賽，也可設計一些“巧奪紅旗”、“數學知識競賽”、“練習闖關”、“智慧大拼盤”等有趣游戲活動。利用一切有效手段充分調動學生的主動性、創造性，使學生學得輕松、理解得透、掌握得牢。除此以外，教師還要注意采用生動、親切、有趣的語言和現代化教學手段吸引學生的注意力，活躍課堂氣氛。

3.精心選例。復習課最忌諱的是題海戰術，使學生不堪重負。為避免這種情況，教師在選擇例題時要有代表性、綜合性，為精講、精練、高效、減負打下基礎，不應是機械地重復過去教學的過程，復習時應當給學生以新的信息，即使是“舊”題也應“新”做。所以復習范例應做到數量少、容量大、覆蓋面廣、啟迪性強，從而達到溫故知新、查漏補缺的目的。例如在復習《比例》時，可與分數、除法進行類比復習，可舉這樣的例子：（ ）：16=2÷（ ）=（ ）/4=（ ）%=0.25。

4.靈活訓練。組織靈活有效的練習是使學生掌握知識、形成技能、發展智力的重要手段，也是復習的重要環節。復習中若能在訓練內容上、層次上、形式上活，讓學生從不同角度分析思考問題，則能達到事半功倍的效果。如：在練習時，可以同時出示基礎題、提高題、綜合題三種類型的題目讓學生分層練習。這樣就對不同層次的學生，提出不同的學習要求，達到了學困生“吃得了”，中等生“吃得好”，優秀生“吃得飽”的目的，實現人人都有進步的復習目標。

5.認真審題。在復習中，培養學生認真審題是一個很重要的環節，讓學生看清每道題的特點，靈活選擇合理的解題方法。很多學生在做題時因為粗心，不認真審題導致會做的題也出現錯誤，這樣造成考試丟分是相當可惜和不該的。因此，教師在復習時也要傳授給學生一些科學的解題方法，培養嚴謹認真、先易后難的學習態度，養成勤于檢驗、會用簡便算法的良好習慣。復習時，老師也可有意識地選擇經常出現錯誤的同學進行板演，集體更正，引起學生重視。例如在計算以下這題時，很多同學會這樣計算：1/3÷（1/3+1/9）=1/3÷1/3+1/3÷1/9=1+3=4。出現這種錯誤，主要的是學生對運算定律沒有正確理解。又如在計算2.5×4÷2.5×4時，一些學生可能會這樣計算：2.5×4÷2.5×4=10÷10=1。導致這種錯誤，主要是學生沒有弄清運算順序， 由此可見，認真審題、勤于檢驗在解題中是何等重要。

6.融會貫通。總復習不是將各冊教材的基礎知識從頭到尾重新講一遍，而是通過反芻、消化和鞏固對所學知識的理解與記憶，彌補過去學習過程中的知識缺漏，使學生平時所學的零碎知識系統化、條理化、清晰化，形成完善的認知結構。通過知識的回顧、疏理、歸類，從知識縱向的發展和橫向的溝通去形成知識的結構網，對知識的理解就能從分散到集中。因此在復習時，教師除了精心設計問題，還要對一些習題變換條件和問題，做到一題多改，一題多問，一題多解，讓學生在同中求異、異中求同的過程中，溝通知識間的相互聯系，做到舉一反三、前后銜接。讓學生從知一點，到會一面，再到通一片。例如在復習“圓柱的側面積”時，老師不妨引導學生將練習題“一個圓柱的底面直徑是1米，高是15米，求這個圓柱的側面積。”改寫成“一臺壓路機的前輪是圓柱形，輪寬15米，直徑1米，求該壓路機的前輪滾動一周壓過公路的面積。”表面上看這兩題有很大區別，實際上題目的條件和問題還是相同的，這樣改動更有利于學生學以致用。

7.準確評價。評價包括試題評價和學生評價。

篇（7）

在高三數學中，一道又一道的獨立例題對學生不一定能得到良好的教學效果，如果學生不在理解的基礎上加以靈活應用，他們學的也只是一些“死”的知識。有些學生只是記住一些題目，想起老師以前似曾這么講過，這些都不能很好的學好數學，只有注重數學思維能力的培養，才能建立良好的學習態度，培養對數學的濃厚興趣，這才是學好數學的有效途徑。所以，2009年高考數學的總體要求是：

1、對數學知識的考查要求

數學知識是指課程標準中所規定的概念，性質，法則，公式，公理和定理以及由其內容反映的數學思想方法，還包括按照一定程序與步驟進行運算，處理數據，繪制圖表等技能。

考查要求既全面又突出重點，對重點知識，考查時會保持較高的比例，在知識網絡交匯點處設計試題。使考查達到必要的深度。

2、對數學能力的考查要求

運算能力的考查包括數的運算和式子的運算，要求對算理和邏輯推理進行考查，以含字母的式子運算為主；空間想象能力是對空間形式的觀察，分析是抽象的能力，考查時注重推理；實踐能力是指解答應用題的能力，考，最是如何將客觀事物進行數學化。

二、提高復習質量的幾點建議

1、注重通性通法，淡化特殊技巧

考查對基礎知識和基本技能的掌握情況是高考的重要目標之一，課標中也明確要求對于支撐學科體系的重點知識要保持較高的比例進行考查，構成試卷的主體。而本屆考生是實行真正的素質教育，進行課程改革的第一屆高考生，教材中的內容編排也有諸多不合理之處，致使學生實際掌握知識的情況較往屆有一定差距。以上因素命題專家會有所考慮，試題的難度較上兩屆應有下降。這種情況下，我們更應重視對于通性通法的掌握，注意考核知識點的準確性和系統性。在復習中考生特別要注意以下的數學思想和方法：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想和轉化(化歸)思想，配方法、消元法、換元法、待定系數法、歸納法、坐標法、參數法、類比法、一般法，觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、歸納與演繹，

2、加強知識點交匯處問題的研究

課標中明確要求在知識網絡交匯點處設計試題，使考查達到必要的深度。而隨著課程改革的進行。知識網絡交匯的點也在不斷豐富，如平面圖形與空間圖形(包括有關三視圖問題)；算法與數列；數列。解析幾何，不等式和導數；函數，導數和不等式問題；平面向量和三角函數；平面向量與解析幾何等等均是平時復習應多加注意和研究探討之處。

3、有的放矢答選修

篇（8）

雖然《標準》提出評價學生學習水平的方式是多樣化的 ,但中考仍然是很重要的評價形式。初三數學復習 ,要根據教學大綱和《考試說明 》,確定初中生必須掌握的知識點 ,然后結合教材明確學生所應具有的基礎知識和基本技能。要根據《標準 》的評價理念 ,去分析中考試題 ,挖掘其豐富的內涵。創新題應恰當評價雙基;應用題應注重評價學生學習過程 ,重視學生發現問題、解決問題的能力 ,引導大家關注社會、關注生活;開放題 ,有助于學生創造性發揮 ,有助于引導課堂教學向研究性學習轉變 ,留給學生探索思維的空間。過去的“雙基 ”教學中不同程度存在著“繁、難、偏、舊 ”等問題 ,局限于孤立的數學知識 ,忽視對“雙基 ”的理解和運用 ,忽視知識的形成和探究 ,忽視科學方法的指導以及數學與現實生活、社會的聯系、作用的認識。

例如:要判斷如圖 ABC的面積是 PBC面積的幾倍 ,只用一把僅有刻度的直尺 ,需要度量的次數最少是 (

)。這是一道考查基礎知識的“小題 ”,其創新之處在于突破原有考查基礎知識的套路 ,給學生提供了一個巧妙運用基礎知識解決問題的機會 ———在深刻理解問題情景所提供的兩個三角形面積之比的實質基礎之上 ,用操作的方法將這一關系表達出來。

又如:已知 AD是 ABC的角平分線 , E、F分別是邊 AB、AC的中點 ,連接 DE、DF。在不再連接其他線段的前提下 ,要使四邊形 AEDF成為菱形 ,還需添加一個條件 ,這個條件可以是 (

)。

這是一道條件開放的客觀性試題 ,涉及三角形與四邊形的基礎知識 ,給同學們創造了一個自主探索的空間 ,考查學生對基本圖形的認識以及各個知識之間的轉換能力。重視發現問題、解決問題能力的評價 ,這種評價學生學習水平的方式有助于改變我們的學習方式 ,提高數學思維能力。

同時近年來中考數學試題的新穎性、靈活性越來越強 ,使得不少師生把主要精力放在難度較大的綜合題上 ,認為只有通過解決難題才能培養能力 ,因而相對忽視了基礎知識、基本技能、基本方法的教學。其主要表現在對知識的發生、發展過程揭示不夠 ,教學中試圖通過大量的題目來訓練學生的思維。其實定理、公式推證的過程就蘊含著重要的解題方法和規律 ,教師沒有充分暴露思維過程 ,沒有發掘其內在的規律 ,就讓學生去做題 ,試圖通過讓學生大量地做題去“悟 ”出某些道理。結果是多數學生“悟“不出方法、規律 ,理解浮淺 ,記憶不牢 ,只會機械地模仿 ,思維水平較低 ,有時甚至生搬硬套 ,照葫蘆畫瓢 ,將簡單問題復雜化 ,從而在考試中造成失分。《標準》為了改變這一狀況 ,將過程作為一個課程目標 ,意在規定并強化教材及教學的過程性、探索性和方法性。近幾年來中考命題已明確告訴我們:基礎知識、基本技能、基本方法始終是中考數學試題考查的重點 ,只有基礎扎實的考生才能取得好成績。

二、立足課本 ,系統復習

現在中考命題仍然以基礎題為主 ,有些基礎題是課本上的原題或改造 ,后面的大題雖是“高于教材 ”,但原型一般還是教材中的例題或習題 ,是教材中題目的變形或組合 ,所以建議第一階段復習應以課本為主。《標準 》中要求“教材在內容體系、活動方式、組織形式和考試評價等方面應留給教師較大的創造空間 ”,所以作為教師必須深挖教材 ,絕不能脫離課本 ,應把書中的內容進行歸納整理 ,使之形成系統。課本中的例題、練習和作業要讓學生弄懂、會做 ,書后的“讀一讀 ”、“想一想 ”,也要學生認真想一想 ,集中精力把初三代數、幾何內容 ,初二的幾何及代數中的分式與根式的化簡等重點內容的例題、習題逐題認認真真地做一遍 ,并注意解題方法的歸納和整理。一味搞題海戰術 ,整天埋頭讓學生做大量的課外習題 ,其效果并不明顯 ,有本末倒置之嫌。而教師選好例題對學生進行訓練非常重要 ,教師在選題時應盡量以課本例題或習題為原型 ,這樣學生會有親切感 ,從中得到的感悟也更深刻 ,并可以根據需要作適當改編 ,以實現以點帶面、舉一反三之效。

740)this.width=740" border=undefined>

用一張矩形紙 ,你能折出一個等邊三角形嗎 ?如圖 ,先把矩形 ABCD紙對折 ,設折痕為 MN;再把點 B疊在折痕線上 ,得到 RtABE,沿著 EB 線折疊 ,就能得到等邊 EAF。想一想這是為什么 ?

這是教材上一個典型的折疊圖形問題 (初二幾何課本第 182頁的“做一做 ”) ,能很好的培養學生的動手操作能力、分析推理能力、圖形的直覺判斷能力和書面表達的數學素養。利用這一題可以復習平行線、三角形中線、三角形中位線 ,還可以復習對稱的有關性質 ,能起到以點帶面、舉一反三的作用。對這一題還可以進行適當改編:對于任一矩形 ,按照上述方法是否都能折出等邊三角形 ? 請說明理由(2003年山西中考題 )。這有利于培養學生的探究問題的能力以及思維的嚴密性。

教師在第一階段的教學可以按知識塊組織復習 ,按照初中數學知識體系 ,把初中數學內容歸納成數與式、方程 (組 )、不等式 (組 )、函數及其圖象、統計初步、線段、角與三角形、四邊形、相似形、解直角三角形、圓等。復習中可由教師提出每個單元的復習提要 ,指導學生按“提要 ”復習 ,同時要注意因材施教 ,引導學生根據個人具體情況邊復習邊作知識歸類 ,加深記憶 ,還要注意引導學生弄清概念的內涵和外延 ,掌握法則、公式、定理的推導或證明 ,例題的選擇要有針對性、典型性、層次性 ,并注意分析例題解答的思路和方法。

三、激發興趣 ,培養能力

中考復習的第二階段應以構建初中數學知識結構和網絡為主 ,從整體上把握數學內容 ,提高能力。培養綜合運用數學知識解題的能力 ,是學習數學的重要目的之一。根據《標準》的要求 ,注重評價學生學習過程及評價學生發現問題、解決問題的能力。所以在這個階段的復習 ,一方面是使學生能把各個章節中的知識聯系起來 ,并能綜合運用 ,做到舉一反三、觸類旁通。另一方面要通過設計一定的結合現實情境的問題 ,鍛煉學生的數學建模能力、動手能力和學以致用的應用能力。這個階段的例題和練習題要有一定的難度 ,但又不是越難越好 ,要讓學生可接受 ,這樣才能既激發學生解難求進的學習欲望 ,又使學生從解決較難問題中看到自己的力量 ,產生更強的求知欲。如果說第一階段是總復習的基礎 ,是重點 ,側重雙基訓練 ,那么第二階段就是第一階段復習的延伸和提高 ,應側重培養學生的數學能力。這一階段尤其要精心設計每一節復習課 ,注意數學思想的形成和數學方法的掌握。初中總復習的內容多 ,復習必須突出重點 ,抓住關鍵 ,解決疑難 ,這就需要充分發揮教師的主導作用。而復習內容是學生已經學習過的 ,各個學生對教材內容掌握的程度又各有差異 ,這就需要教師千方百計地激發學生復習的主動性、積極性 ,引導學生有針對性的復習 ,根據個人的具體情況 ,查漏補缺 ,做知識歸類、解題方法歸類 ,在形成知識結構的基礎上加深記憶。除了復習形式要多樣 ,題型要新穎 ,能引起學生復習的興趣外 ,教師還要精心設計復習課的教學方法 ,提高復習效益。要把培養學生能力這一思想貫穿整個復習的始終 。

例如: (2003年鎮江市中考題 )在舉國上下眾志成城 ,共同抗擊非典的非常時期 ,某醫藥器械廠接受了生產一批高質量醫用口罩的任務 ,要求在 8天之內 (含 8天 )生產 A型和 B型兩種型號的口罩共 5萬只 ,其中 A型口罩不得少于 1. 8萬只 ,該廠的生產能力是:若生產 A型口罩每天生產 0. 6萬只 ,若生產 B型口罩每天能生產 0. 8萬只 ,已知生產一只A型口罩可獲利 0. 5元 ,生產一只 B 型口罩可獲利0. 3元。設該廠在這次任務中生產了 A型口罩 x萬只 ,問:

1. 該廠生產 A型口罩可獲得利潤 (

)萬元 ,生產 B型口罩可獲利潤 (

)萬元。

2. 設該廠這次生產口罩的總利潤是 y萬元 ,試寫出 y關于 x的函數關系式 ,并求出自變量 x的取值范圍。

3. 如果你是該廠廠長 :

(1)在完成任務的前提下 ,你如何安排生產 A型和 B型口罩的只數 ,使獲得的總利潤最大 ? 量大利潤是多少 ?

(2)若要在最短時間內完成任務 ,你又如何來安排生產 A型和 B型口罩的只數 ? 最短時間是幾天 ?

這類題型旨在利用與生活實際有關的具體情境 ,注重學生的心路歷程 ,搭起數學與實際問題的橋梁 ,協助學生體驗由生活情境中抽象出的數學問題 ,即學會運用數學建模思想方法 ,培養學生用數學的觀點和方法來考察周圍的事物 ,提高了學生應用數學的能力。

縱觀中考數學試題中對能力的考查 ,大致可分成考查運算能力、空間想象能力、邏輯思維能力以及分析和解決純數學問題的能力等。這些能力要求對應于傳統的數學教材及大綱所規定的教學目標。而對應于修訂后的試驗教材規定的教學目標 ,又強化了閱讀理解能力、探索創新能力和數學應用能力 ,以及建立在過去能力基礎上的作為數學核心能力的思維能力 ,特別是把數學作為文化和培養“人 ”的一個不可分割的整體中的一個部分時 ,對學生的情感、意志、毅力、價值觀等非智力因素的考查 ,就必然使中考數學試題對能力的考查進入一個新的階段。

四、反復模擬、心理錘煉

在學習活動中通過不斷的訓練和測試 ,可以培養學生在思維上的流暢性、靈活性和獨特性。《標準 》中指出“關注學生在情感態度與價值觀方面的發展 ”,因此 ,在這一階段學生心理和迎考狀態非常重要。基礎知識和重點內容復習完后 ,要做些模擬試題檢查復習效果 ,讓學生調整心態 ,振作精神 ,教師要認真分析試卷 ,找出學生存在的問題加以解決 ,并加強這方面練習。數學知識在于點點滴滴的積累 ,考試時遇到不會做的題時要學生學會鎮定 ,回想學過的各種方法 ,從條件入手 ,挖掘隱含的已知條件 ,或從結論入手尋找解題途徑 ,從而爭取中考取得優異成績。尤其是學習困難學生在數學學習上既有困難又有潛能 ,因此教學的首要問題是轉變觀念 ,正確對待學習困難的學生 ,認真分析產生困難的原因 ,有意識地“偏愛差生 ”,允許學生在數學學習上的態度存在反復 ,不斷激發他們學好數學的自信心 ,并創造條件 ,讓他們體驗成功。學習困難生在過去數學中受到的肯定、鼓勵相當少 ,因此要抓住他們的閃光點積極鼓勵和肯定 ,促使他們對數學產生興趣 ,讓他們在數學學習上取得成功 ,使他們感到自己能學好數學。要從學生的實際情況出發 ,降低和調整某些教學要求 ,以滿足某一層次學生的需要 ,促使教與學相適應 ,教與學相促進 ,教與學相統一。

總之 ,切切實實提高復習實效是初三數學復習教學的最終目標。因此 ,教師要有強烈的質量意識 ,認真探討和研究有效的復習方法 ,應因地制宜地擬訂好復習計劃。要充分發揮備課組的集體智慧 ,群策群力 ,不斷研究和改進復習方法 ,同時加強校際交流與合作 ,提高初中數學總復習的質量。

參 　考 　文 　獻:

[ 1 ] 　教育部基礎教育司. 數學課程標準解讀 (實驗稿 ) [M ]1北京 :北京師范大學出版社 , 2002.

篇（9）

徐州醫學院附屬醫院是一所有著百年歷史的省屬綜合性醫院，是蘇北地區唯一的部頒三級甲等醫院，是江蘇省行政區域規劃設定的蘇北地區醫療、教學、科研中心。

目前在建的新病房綜合樓工程，為醫院主體工程，主要滿足住院醫療的功能要求，同時滿足內部辦公管理等方面的需要。 工程總建筑面積105567平方米，其中地下14340平方米，地上91227平方米，建筑基底占地面積4907平方米；建筑地下3層，地上22層，建筑高度88.8米；建筑結構形式為框剪結構，建筑結構抗震類別為乙類，設計使用年限為50年，抗震設防烈度為7度；防火設計的建筑分類為一類；其構件耐火等級為地上一級，地下一級；人防地下室的抗力等級為5級，防化等級為甲級，戰時用途為急救中心， 平時用途為汽車庫；地下停車168輛。醫院門診人次為1000人次/日。住院床位數為1350床，其中標準床位數1260床。

主體建筑包括：地下1至3層為設備機房、人防和地下停車場；1層住院大廳、配電和消控中心等；2層檢查、藥房等；3層檢驗、ICU等；4層手術中心；5層手術控制機房和病案庫；6層至20層為病房區；21層和22層為會議室、活動室和輔助用房等。

二、 布線系統的需求分析及整體規劃

綜合布線系統是綜合醫院智能化系統中最重要的內容之一，關系到醫院的網絡發展及信息化的應用，設計時不但要考慮到現階段的通信業務、智能化功能的應用需要，還應考慮到今后一段時期內通信技術的發展和業務、功能的擴展需求。

綜合布線的布點是設計的關鍵，對藥房等可根據窗口數量進行布點，同時要考慮LED屏和相關的導向系統；對醫技部門要根據儀器設備及電腦擺放位置進行布點；對手術室、ICU等要要考慮到HIS、PACS、CIS以及手術轉播的要求；對內鏡、介入等視頻，要充分考慮雙向音頻傳輸；對病區要考慮布線系統能支持今后無線數據傳輸的實施方案。根據對醫院數據管理及傳輸的需求進行分析，考慮到整體的安全性，可靠性及穩定性，整個綜合布線系統分為3套網：數據內網（含無線）、數據外網、語音網。三個網絡不僅在水平和垂直子系統上實現物理隔離，在各工作間內的配線架和機柜間也分別進行物理隔離。另外，本次設計的網絡中心機房既是本工程的網絡中心，也是前期的災備機房，所以在與原網絡中心機房一起互聯時必須采用2個獨立的路由接入。與院內其他主要建筑采用12芯多模光纜連接。包括：急診大樓、門診大樓、教學綜合樓、外科病房樓、后勤樓、行政辦公樓。

三、 綜合布線系統設計要點及產品選型

綜合布線壽命遠遠大于計算機軟硬件和其他網絡設備，需要具有長達10-15年甚至更長的生命周期，必須可以支持2至3代的有源設備的更新換代，是一項長期投資。根據我們自身的需求，經過慎重比較，我們指定采用質量優異且可信賴的美國西蒙公司System 6+ Light System綜合布線解決方案，共計6000余個語音信息點，工程完工驗收合格后，將會獲得美國西蒙公司提供的20年系統質量保證。

綜合布線系統設計首先要確定分設備間的位置，它是主干電纜的布放通道，配線架、機柜就設置在豎井附設的配線間內，管理該豎井周圍的信息點或相鄰樓層的信息點，設計時應保證布線的水平距離在網絡要求的90米限制之內。原則是在滿足綜合布線設計規范的基礎上，如果相鄰兩層的信息點不太多就盡可能合并成一個弱電間。根據對本次工程的點位分析，地下層、1層、2層、3層的信息點可以由1層弱電間管理，其他每兩個樓層的信息點由其中一層弱電間管理。由于病房為類U型，平層距離過長，故水平需設置兩個弱電間。這兩個弱電間建議設置在同一樓層，便于管理，建議將設備間設置在單數層。徐州醫學院附屬醫院病房綜合樓本系統包括三套網：數據內網、數據外網和語音網，相互之間物理隔離。

1. 各系統總體設計要求：本系統水平部分采用低煙無鹵6類布線系統，對于重要的桌面信息點可以考慮采用4芯光纖到桌面的方式（如手術室、示教室、21層多功能廳）。

內網：兩級星形結構，主干采用12芯萬兆多模光纜、水平采用6類的低煙無鹵非屏蔽雙絞線，并預留4芯萬兆光纖點100個。

外網：兩級星形結構，主干采用12芯千兆多模光纜、水平采用6類的低煙無鹵非屏蔽雙絞線。

語音網：兩級星形結構，主干采用三類25對大對數銅纜、水平采用6類的非屏蔽雙絞線。

2. 數據、話音插座插頭均采用非屏蔽RJ45形式，建成后數據和語音插座具有互換性。

插座使用美國西蒙MX6模塊化插座，含有三重平衡專利技術，使衰減、回損和近端、遠端串擾方面的性能全面超過6類的要求。端口的插拔次數>5000次（遠高于國際標準要求的>750次）。

模塊化跳線則采用美國西蒙原廠裝配，含有金屬隔離層屏蔽技術，優化線對間平衡，所有跳線用實驗室測試儀至少測到250MHz.

3. 室內所有銅纜采用阻燃低煙無鹵六類線，并含有十字骨架，以減少線對間串擾，保證線對平衡和安裝的可靠型，適用于所有高性能和高可靠性嚴格要求的安裝環境，支持信道帶寬高達250MHz的應用。

4. 光纖作為高帶寬和高安全的數據傳輸介質應用于主干。

光纜采用阻燃線。光纜類型：根據傳輸模式分，光纜分為多模光纜和單模光纜。常用的光纜粗細為多模62.5/125，多模50/125，單模9/125。光纜類型不同，系統造價影響很大。單模光纜價格比多模價格便宜，單模光纜連接件價格比多模光纜連接件價格貴的多。因此，在275米內光纜傳輸（50光纜可以傳輸到550米），可以用多模光纜傳輸。徐州醫學院附屬醫院病房綜合樓工程主要為室內主干，距離不超過550米，故采用多模光纜。

光纜芯數：光纜分為主干光纜和末端光纜。各級光纜均需考慮各個系統的應用。一般來講，綜合布線系統考慮雙鏈路，考慮為4芯光纖；個別分設備間信息點數量很多，需2組上聯設備，再考慮4芯光纖；預留4芯光纖。共計12芯。考慮到大樓內內、外網隔離以及接入交換機雙上聯到核心交換機的要求，從中心機房到各分設備間布兩根12芯光纜。其中，對于具有高可靠、大容量數據傳輸要求的醫院內網，采用OM3的萬兆多模光纜；對于數據傳輸要求不高的醫院外網，采用千兆多模光纜。

5. 電話大對數電纜分室外和室內兩部分。考慮到徐州醫學院附屬醫院病房綜合樓工程大樓，室外電話大對數電纜可能會由電信投資，采用普通HYA-0.5電話電纜。室內部分采用三類25對大對數電纜主要為各個設備間之間的電話連接。

6. 配線架：綜合布線系統中，配線架分為數據配線架和電話配線架，主要由110快捷式配線架和24口、48口模塊式配線架。在本綜合布線系統中，所有水平線纜終端的配線架均采用模塊式配線架，采用三重平衡專利設計的HD6高密度配線架達到最佳的線對平衡和線性串擾響應，然后再根據使用的不同連接至網絡交換機或者電話進戶配線架。

7. 對環境及土建配合的建議及要求

總配線房內必須配有空調以及機械通風，有良好通風系統用于散熱，房內溫度和非冷凝的環境必須保持相對濕度，一些如滲水、傳輸器或馬達引起的電磁干擾等障礙和危險因素必須被排除，這些要求必須每周每天24小時內均維持。在總配線間以及各個分配線間內提供足夠的空間用于安裝安裝跳線架及光纖接線盒，防塵良好，且應有照明系統，便于安裝和管理。在總配線間以及各個分配線間內應連接骨干和水平橋架，用于干線電纜和水平電纜的布放，同時在總配線間吊頂式天花板頂或架高地臺層棚用于布線。在總配線間以及各個分配線間內提供至少有3-4個獨立的電源雙孔插座，以供一些網絡設備使用。系統應用的電壓為380V三向和220雙向交流電源，由當地電力公司提供，其交流電壓波動的報限需遵從規定。

垂直銅纜系統的垂直橋架的長度必須最短，垂直光纖的系統的垂直橋架必須能夠滿足其分配，這些橋架的尺寸必須由智能化承包方計算并確認。在安裝工作開始以前，智能化承包方必須書面確認建筑圖紙以及一些相關圖紙中的提供綜合布線系統的空間，凈空高度、建筑開孔、底座等是否能夠滿足要求。如必要的話，智能化承包方必須對土建底座等是否能夠滿足要求進行確認。必須安裝一套充分的、提供密碼的滅火系統，必須布置好加濕系統，電子設置的上方必須直接布有噴淋頭，用吹干機來避免以外的滲水破壞，必須裝好通風系統。

篇（10）

第十八講

數列的綜合應用

一、選擇題

1．(2018浙江)已知，，，成等比數列，且．若，則

A．，

B．，

C．，

D．，

2．(2015湖北)設，．若p：成等比數列；q：，則

A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件

B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件

C．p是q的充分必要條件

D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

3．（2014新課標2）等差數列的公差為2，若，，成等比數列，則的前項和=

A．

B．

C．

D．

4．（2014浙江）設函數，，

，記

，則

A．

B．

C．

D．

二、填空題

5．(2018江蘇)已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構成一個數列．記為數列的前項和，則使得成立的的最小值為

．

6．（2015浙江）已知是等差數列，公差不為零．若，，成等比數列，且，則

，

．

7．（2013重慶）已知是等差數列，，公差，為其前項和，若成等比數列，則．

8．（2011江蘇）設，其中成公比為的等比數列，成公差為1的等差數列，則的最小值是________．

三、解答題

9．（2018江蘇）設是首項為，公差為的等差數列，是首項為，公比為的等比數列．

(1)設，若對均成立，求的取值范圍；

(2)若，證明：存在，使得對均成立，并求的取值范圍（用表示）．

10*．（2017浙江）已知數列滿足：，．

證明：當時

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）．

*根據親所在地區選用，新課標地區（文科）不考．

11．（2017江蘇）對于給定的正整數，若數列滿足

對任意正整數總成立，則稱數列是“數列”．

（1）證明：等差數列是“數列”；

（2）若數列既是“數列”，又是“數列”，證明：是等差數列．

12．（2016年四川）已知數列的首項為1，為數列的前項和，，其中，

(Ⅰ)若成等差數列，求數列的通項公式；

(Ⅱ)設雙曲線的離心率為，且，求．

13．（2016年浙江）設數列{}的前項和為.已知=4，=2+1，.

（I）求通項公式；

（II）求數列{}的前項和.

14．(2015重慶)已知等差數列滿足，前3項和．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）設等比數列滿足，，求前項和．

15．（2015天津）已知是各項均為正數的等比數列，是等差數列，且，，．

（Ⅰ）求和的通項公式；

（Ⅱ）設，，求數列的前項和．

16．(2015四川)設數列（=1,2,3…）的前項和滿足，且，+1，成等差數列．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設數列的前項和為，求．

17．（2015湖北）設等差數列的公差為，前項和為，等比數列的公比為，已知，，，．

（Ⅰ）求數列，的通項公式；

（Ⅱ）當時，記=，求數列的前項和．

18．(2014山東）已知等差數列的公差為2，前項和為，且，，成等比數列．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）令=求數列的前項和．

19．（2014浙江）已知數列和滿足．若為等比數列，且

（Ⅰ）求與；

（Ⅱ）設．記數列的前項和為．

（ⅰ）求；

（ⅱ）求正整數，使得對任意，均有．

20．（2014湖南）已知數列{}滿足

（Ⅰ）若{}是遞增數列，且成等差數列，求的值；

（Ⅱ）若，且{}是遞增數列，{}是遞減數列，求數列{}的通項公式．

21．（2014四川）設等差數列的公差為，點在函數的圖象上（）．

（Ⅰ）若，點在函數的圖象上，求數列的前項和；

（Ⅱ）若，函數的圖象在點處的切線在軸上的截距為，求數列

的前項和．

22．(2014江蘇)設數列的前項和為．若對任意正整數，總存在正整數，使得，則稱是“H數列”．

（Ⅰ）若數列的前n項和(N)，證明:

是“H數列”；

（Ⅱ）設

是等差數列，其首項，公差．若

是“H數列”，求的值；

（Ⅲ）證明：對任意的等差數列，總存在兩個“H數列”和，使得(N)成立．

23．（2013安徽）設數列滿足，，且對任意，函數

，滿足

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）若，求數列的前項和．

24．（2013廣東）設各項均為正數的數列的前項和為，滿足

且構成等比數列．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）證明：對一切正整數，有．

25．（2013湖北）已知是等比數列的前項和，，，成等差數列，

且.

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）是否存在正整數，使得？若存在，求出符合條件的所有的集合；

若不存在，說明理由．

26．（2013江蘇）設是首項為，公差為的等差數列，是其前項和.

記，，其中為實數.

（Ⅰ）

若，且，，成等比數列，證明：；

（Ⅱ）

若是等差數列，證明：．

27．

(2012山東)已知等差數列的前5項和為105，且．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）對任意，將數列中不大于的項的個數記為.求數列的前m項和．

28．（2012湖南）某公司一下屬企業從事某種高科技產品的生產．該企業第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了50％．預計以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業從第一年開始，每年年底上繳資金萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產．設第年年底企業上繳資金后的剩余資金為萬元．

（Ⅰ）用表示，并寫出與的關系式；

（Ⅱ）若公司希望經過（≥3）年使企業的剩余資金為4000萬元，試確定企業每年上繳資金的值（用表示）．

29．（2012浙江）已知數列的前項和為，且=，，數列滿足，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求數列的前項和．

30．（2012山東）在等差數列中，，

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）對任意的，將數列中落入區間內的項的個數為，求數列的前項和．

31．（2012江蘇）已知各項均為正數的兩個數列和滿足：．

（Ⅰ）設，求證：數列是等差數列；

（Ⅱ）設，且是等比數列，求和的值．

32．（2011天津）已知數列滿足，

．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）設，證明是等比數列；

（Ⅲ）設為的前項和，證明

33．（2011天津）已知數列與滿足：，

，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）設，證明：是等比數列；

（Ⅲ）設證明：．

34．（2010新課標）設數列滿足

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）令，求數列的前項和．

35．（2010湖南）給出下面的數表序列：

其中表（=1,2,3

）有行，第1行的個數是1，3，5，，21，從第2行起，每行中的每個數都等于它肩上的兩數之和．

（Ⅰ）寫出表4，驗證表4各行中數的平均數按從上到下的順序構成等比數列，并將結論推廣到表（≥3）（不要求證明）；

（Ⅱ）每個數列中最后一行都只有一個數，它們構成數列1，4，12，，記此數列為，求和：

．

專題六

數列

第十八講

數列的綜合應用

答案部分

1．B【解析】解法一

因為()，所以

，所以，又，所以等比數列的公比．

若，則，

而，所以，

與矛盾，

所以，所以，，

所以，，故選B．

解法二

因為，，

所以，則，

又，所以等比數列的公比．

若，則，

而，所以

與矛盾，

所以，所以，，

所以，，故選B．

2．A【解析】對命題p：成等比數列，則公比且；

對命題，

①當時，成立；

②當時，根據柯西不等式，

等式成立，

則，所以成等比數列，

所以是的充分條件，但不是的必要條件．

3．A【解析】，，成等比數列，，即，解得，所以．

4．B【解析】在上單調遞增，可得，

，…，，

=

在上單調遞增，在單調遞減

，…，，，

，…，

==

=

在，上單調遞增，在，上單調遞減，可得

因此．

5．27【解析】所有的正奇數和()按照從小到大的順序排列構成，在數列

中，前面有16個正奇數，即，．當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；……；當時，=

441

+62=

503

+62=546>=540，符合題意．故使得成立的的最小值為27．

6．【解析】由題可得，，故有，又因為，即，所以．

7．64【解析】由且成等比數列，得，解得，故．

8．【解析】設，則，由于，所以，故的最小值是．

因此，所以．

9．【解析】(1)由條件知：,．

因為對=1，2，3，4均成立，

即對=1，2，3，4均成立，

即11，13，35，79，得．

因此，的取值范圍為．

(2)由條件知：,．

若存在，使得(=2，3，···，+1)成立，

即(=2，3，···，+1)，

即當時，滿足．

因為，則，

從而，，對均成立．

因此，取=0時，對均成立．

下面討論數列的最大值和數列的最小值（）．

①當時，，

當時，有，從而．

因此，當時，數列單調遞增，

故數列的最大值為．

②設，當時，，

所以單調遞減，從而．

當時，，

因此，當時，數列單調遞減，

故數列的最小值為．

因此，的取值范圍為．

10．【解析】（Ⅰ）用數學歸納法證明：

當時，

假設時，，

那么時，若，則，矛盾，故．

因此

所以

因此

（Ⅱ）由得

記函數

函數在上單調遞增，所以=0，

因此

故

（Ⅲ）因為

所以得

由得

所以

故

綜上，

．

11．【解析】證明:（1）因為是等差數列，設其公差為，則，

從而，當時，

，

所以，

因此等差數列是“數列”.

（2）數列既是“數列”，又是“數列”，因此，

當時，，①

當時，.②

由①知，，③

，④

將③④代入②，得，其中，

所以是等差數列，設其公差為.

在①中，取，則，所以，

在①中，取，則，所以，

所以數列是等差數列.

12．【解析】（Ⅰ）由已知，

兩式相減得到.

又由得到，故對所有都成立.

所以，數列是首項為1，公比為q的等比數列.

從而.

由成等差數列，可得，所以，故.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.

所以雙曲線的離心率.

由解得.所以，

13．【解析】（1）由題意得：，則，

又當時，由，

得，

所以，數列的通項公式為.

（2）設，，.

當時，由于，故.

設數列的前項和為，則.

當時，，

所以，.

14．【解析】（Ⅰ）設的公差為，則由已知條件得

化簡得

解得，．

故通項公式，即．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

設的公比為，則，從而．

故的前項和

．

15．【解析】（Ⅰ）設數列的公比為q，數列的公差為d，由題意，由已知，有

消去d，整數得，又因為＞0，解得，所以的通項公式為，數列的通項公式為.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）有

,設的前n項和為，則

，

，

兩式相減得，

所以．

16．【解析】(Ⅰ)

由已知，有

=(n≥2)，即(n≥2)，

從而，．

又因為，+1，成等差數列，即＋＝2(＋1)，

所以＋4＝2(2＋1)，解得＝2．

所以，數列是首項為2，公比為2的等比數列，故．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，

所以＝．

17．【解析】（Ⅰ）由題意有，

即，

解得

或

故或

（Ⅱ）由，知，，故，于是

，

①

．

②

①－②可得

，

故．

18．【解析】（Ⅰ）

解得

（Ⅱ），

當為偶數時

．

19．【解析】（Ⅰ）由題意，，，

知，又由，得公比（舍去），

所以數列的通項公式為，

所以，

故數列的通項公式為，；

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，，

所以；

（ii）因為；

當時，，

而，

得，

所以當時，，

綜上對任意恒有，故．

20．【解析】（I）因為是遞增數列，所以。而，

因此又成等差數列，所以，因而，

解得

當時，，這與是遞增數列矛盾。故.

（Ⅱ）由于是遞增數列，因而，于是

①

但，所以

.

②

又①，②知，，因此

③

因為是遞減數列，同理可得，故

④

由③，④即知，。

于是

.

故數列的通項公式為．

21．【解析】（Ⅰ）點在函數的圖象上，所以，又等差數列的公差為，所以

因為點在函數的圖象上，所以，所以

又，所以

（Ⅱ）由，函數的圖象在點處的切線方程為

所以切線在軸上的截距為，從而，故

從而，，

所以

故．

22．【解析】（Ⅰ）當時，

當時，

時，，當時，，是“H數列”．

（Ⅱ）

對，使，即

取得，

，，又，，．

（Ⅲ）設的公差為d

令，對，

，對，

則，且為等差數列

的前n項和，令，則

當時；

當時；

當時，由于n與奇偶性不同，即非負偶數，

因此對，都可找到，使成立，即為“H數列”．

的前n項和，令，則

對，是非負偶數，

即對，都可找到，使得成立，即為“H數列”

因此命題得證．

23．【解析】（Ⅰ）由，

所以，

是等差數列.

而，，，，

（Ⅱ）

24．【解析】（Ⅰ）當時，，

（Ⅱ）當時，，

,

當時，是公差的等差數列.

構成等比數列，，，

解得．

由（Ⅰ）可知，

是首項,公差的等差數列.

數列的通項公式為.

（Ⅲ）

25．【解析】（Ⅰ）設數列的公比為，則，.

由題意得

即

解得

故數列的通項公式為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）有

.

若存在，使得，則，即

當為偶數時，，

上式不成立；

當為奇數時，，即，則.

綜上，存在符合條件的正整數，且所有這樣的n的集合為．

26．【證明】（Ⅰ）若，則，，又由題，

，，

是等差數列，首項為，公差為，，又成等比數列，

，，，，，，

，（）．

（Ⅱ）由題，，，若是等差數列，則可設，是常數，關于恒成立．整理得：

關于恒成立．，

．

27．【解析】（Ⅰ）由已知得：

解得,

所以通項公式為.

（Ⅱ）由，得，即.

，

是公比為49的等比數列，

．

28．【解析】（Ⅰ）由題意得，

，

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

．

整理得

．

由題意，

解得．

故該企業每年上繳資金的值為繳時，經過年企業的剩余資金為4000元．

29．【解析】（Ⅰ）由=，得

當=1時，；

當2時，，.

由，得，.

（Ⅱ）由（1）知，

所以，

，

，．

30．【解析】：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，則

，，

于是，即.

（Ⅱ）對任意m∈，，則，

即，而，由題意可知，

于是

，

即.

31．【解析】（Ⅰ）由題意知，

所以，從而

所以數列是以1為公差的等差數列．

（Ⅱ）．所以，

從而

(*)

設等比數列的公比為，由知下證．

若，則．故當，，與（*）矛盾；

若，則．故當，，與（*）矛盾；

綜上：故，所以．

又，所以是以公比為的等比數列，若，

則，于是，又由，得，

所以中至少有兩項相同，矛盾．所以，從而，

所以．

32．【解析】（Ⅰ）由，可得

又，

當

當

（Ⅱ）證明：對任意

①

②

②-①，得

所以是等比數列。

（Ⅲ）證明：，由（Ⅱ）知，當時，

故對任意

由①得

因此，

于是，

故

33．【解析】（Ⅰ）由可得

又

當時，，由，，可得；

當時，，可得；

當時，，可得；

（Ⅱ）證明：對任意

①

②

③

②—③，得

④

將④代入①，可得

即

又

因此是等比數列.

（Ⅲ）證明：由（II）可得，

于是，對任意，有

將以上各式相加，得

即，

此式當k=1時也成立.由④式得

從而

所以，對任意，

對于=1，不等式顯然成立.

所以，對任意

34．【解析】（Ⅰ）由已知，當n≥1時，

．而

所以數列{}的通項公式為．

（Ⅱ）由知

①

從而

②

①-②得

．

即

．

35．【解析】（Ⅰ）表4為

1

3

5

7

4

8

12

12

20

32

它的第1,2,3,4行中的數的平均數分別為4,8,16,32.

它們構成首項為4，公比為2的等比數列．將結這一論推廣到表（≥3），即表各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列.

將這一結論推廣到表，即表各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列．

簡證如下（對考生不作要求）

首先，表的第1行1，3，5，…，是等差數列，其平均數為；其次，若表的第行，，…，是等差數列，則它的第行，，…，也是等差數列．由等差數列的性質知，表的第行中的數的平均數與行中的數的平均數分別是

，．

由此可知，表各行中的數都成等差數列，且各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列．

（Ⅱ）表第1行是1,3,5，…，2-1，其平均數是

由（Ⅰ）知，它的各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列（從而它的第行中的數的平均數是），于是表中最后一行的唯一一個數為.因此

．(=1,2,3,