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時間：2023-04-13 17:01:00
序論：好文章的創(chuàng)作是一個不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]十篇中等數(shù)學(xué)論文范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。
數(shù)學(xué)建模是一種微小的科研活動，它對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和工作無疑會有深遠的影響，同時它對學(xué)生的能力也提出了更高的要求［2］。數(shù)學(xué)建模思想的普及，既能提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和合作意識，也能促進高校課程建設(shè)和教學(xué)改革，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造欲和創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)建模教學(xué)著眼于培養(yǎng)大學(xué)生具有如下能力：
2.1培養(yǎng)“表達”的能力，即用數(shù)學(xué)語言表達出通過一定抽象和簡化后的實際問題，以形成數(shù)學(xué)模型(即數(shù)學(xué)建模的過程)。然后應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法進行推演或計算得到結(jié)果，并用較通俗的語言表達出結(jié)果。
2.2培養(yǎng)對已知的數(shù)學(xué)方法和思想進行綜合應(yīng)用的能力，形成各種知識的靈活運用與創(chuàng)造性的“鏈接”。
2.3培養(yǎng)對實際問題的聯(lián)想與歸類能力。因為對于不少完全不同的實際問題，在一定的簡化與抽象后，具有相同或相似的數(shù)學(xué)模型，這正是數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛性的表現(xiàn)。
2.4逐漸發(fā)展形成洞察力，也就是說一眼抓住(或部分抓住)要點的能力。
3有關(guān)數(shù)學(xué)建模思想融入醫(yī)學(xué)生高等數(shù)學(xué)教學(xué)的幾個事例3.1在關(guān)于導(dǎo)數(shù)定義的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想
在講導(dǎo)數(shù)的概念時，給出引例：求變速直線運動的瞬時速度［3,4］，在求解過程中融入建模思想，與學(xué)生一起體會模型的建立過程及解決問題的思想方法。通過師生共同分析討論，有如下模型建立過程：
3.1.1建立時刻t與位移s之間的函數(shù)關(guān)系：s=s(t)。
3.1.2平均速度近似代替瞬時速度。根據(jù)已有知識，僅能解決勻速運動瞬時速度的問題，但可以考慮用某段時間中的平均速度來近似代替這段時間中某時刻的瞬時速度。對于勻速運動，平均速度υ是一常數(shù)，且為任意時刻的速度，于是問題轉(zhuǎn)化為：考慮變速直線運動中瞬時速度和平均速度之間的關(guān)系。我們先得到平均速度。當(dāng)時間由t0變到t0+Δt時，路程由s0=s(t0)變化到s0+Δs=s(t0+Δt)，路程的增量為：Δs=s(t0+Δt)－s(t0)。質(zhì)點M在時間段Δt內(nèi)，平均速度為：
υ=Δs/Δt=s(t0+Δt)－s(t0)/Δt(1）
當(dāng)Δt變化時，平均速度也隨之變化。
3.1.3引入極限思想，建立模型。質(zhì)點M作變速運動，由式（1）可知，當(dāng)｜Δt｜較小時，平均速度υ可近似看作質(zhì)點在時刻t0的“瞬時速度”。顯然，當(dāng)｜Δt｜愈小，其近似程度愈好，引入極限的思想來表示｜Δt｜愈小，即：Δt0。當(dāng)Δt0時，若趨于確定值（即極限存在），該值就是質(zhì)點M在時刻t0的瞬時速度υ，于是得出如下數(shù)學(xué)模型：
υ=limΔt0υ=limΔt0Δs/Δt=limΔt0s(t0+Δt)－s(t0）/Δt
要求解這個模型，對于簡單的函數(shù)還比較容易計算，而對于復(fù)雜的函數(shù)，極限值很難求出。但觀察到，當(dāng)拋開其實際意義僅從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上看，這個數(shù)學(xué)模型實際上表示函數(shù)的增量與自變量增量比值、在自變量增量趨近于零時的極限值，我們把這種形式的極限定義為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。有了導(dǎo)數(shù)的定義，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算法則和相關(guān)的求導(dǎo)法則，前面的這個模型就從求復(fù)雜函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為單純求導(dǎo)數(shù)的問題，從而很容易求解。
3.2在定積分定義及其應(yīng)用教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想對于理解與掌握定積分定義及其在幾何、物理、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟學(xué)等方面的應(yīng)用，關(guān)鍵在于對“微元法”的講解。而要掌握這個數(shù)學(xué)模型，就一定要理解“以不變代變”的思想。以單位時間內(nèi)流過血管截面的血流量為例，我們來具體看看這個模型的建立與解決實際問題的整個思想與過程。
假設(shè)有一段長為l、半徑為R的血管，一端血壓為P1，另一端血壓為P2(P1＞P2)。已知血管截面上距離血管中心為γ處的血液流速為
V(r)=P1－P2/4ηl(R2－r2)
式中η為血液粘滯系數(shù)，求在單位時間內(nèi)流過該截面的血流量［3,4］（如圖1（a））。
圖1
Fig.1
要解決這個問題，我們采用數(shù)學(xué)模型：微元法。
因為血液是有粘性的，當(dāng)血液在血管內(nèi)流動時，在血管壁處受到摩擦阻力，故血管中心流速比管壁附近流速大。為此，將血管截面分成許多圓環(huán)來討論。
建立如圖1（b）坐標(biāo)系，取血管半徑γ為積分變量，γ∈［0,R］于是有如下建模過程：
①分割：在其上取一個小區(qū)間［r,r+dr］，則對應(yīng)一個小圓環(huán)。
②以“不變代變”（近似）：由于dr很小，環(huán)面上各點的流速變化不大，可近似看作不變，所以可用半徑為r處圓周上流速V(r)來近似代替。此圓環(huán)的面積也可以近似看作以圓環(huán)周長2πr為長，dr為寬的矩形面積2πrdr，則該圓環(huán)內(nèi)的血流量可近似為：ΔQ≈V（r）2πrdr，則血流量微元為：dQ=V(r)2πrdr
③求定積分：單位時間內(nèi)流過該截面的血流量為定積分：Q＝R0V(r)2πrdr。
以上實例，體現(xiàn)了微元法先分割，再近似，然后求和，最后取極限的建模過程，并成功把所求量表示成了定積分的形式，最終可以應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的知識求出所求量的建模思想。
4結(jié)語
高等數(shù)學(xué)課的中心內(nèi)容并不是建立數(shù)學(xué)模型，我們只是通過數(shù)學(xué)建模強化學(xué)生的數(shù)學(xué)理論知識的應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性和主動性。所以在授課時應(yīng)從簡潔、直觀、結(jié)合實際入手，達到既有助于理解教學(xué)內(nèi)容，又可以通過對實際問題的抽象、歸納、思考，用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識給予解決。所選的模型，最好盡可能結(jié)合醫(yī)學(xué)實際問題，且具一定的趣味性，從而使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活實際，又應(yīng)用于生活實際之中，以激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的決心，提高他們應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力［5］。
總之，高等數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，為進一步學(xué)習(xí)其專業(yè)課打下良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，可使學(xué)生的想象力、洞察力和創(chuàng)造力得到培養(yǎng)和提高的同時，也提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想、知識、方法解決實際問題的能力。
【參考文獻】
［1］洪永成，李曉彬.搞好數(shù)學(xué)建模教學(xué)提高學(xué)生素質(zhì)［J］.上海金融學(xué)院學(xué)報，2004，3：（總63)6.
［2］姜啟源.數(shù)學(xué)模型［M］.北京:高等教育出版社，1993，6.
［3］梅挺，鄧麗洪.高等數(shù)學(xué)［M］.北京:中國水利水電出版社，2007，8.
［4］梅挺，賈其鋒,張明，等.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)［M］.北京:中國水利水電出版社，2007，8.
二、中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校計算機教學(xué)發(fā)展模式的探索
（一）完善計算機專業(yè)課程的設(shè)置，使其更為科學(xué)合理
第一，中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校計算機課程的設(shè)置應(yīng)當(dāng)注意以當(dāng)前的市場需求為依據(jù)，以培養(yǎng)適應(yīng)企業(yè)崗位需求的計算機技術(shù)人員為教學(xué)目標(biāo)，促進企業(yè)與計算機專業(yè)之間的對接。依據(jù)當(dāng)前的市場需求，中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校的計算機專業(yè)可以將辦公自動化、計算機輔助設(shè)計、計算機網(wǎng)絡(luò)以及計算機圖形圖像處理等技術(shù)的學(xué)習(xí)作為其主攻方向。第二，計算機課程的設(shè)置應(yīng)當(dāng)注意理論的適度化，盡量少開編程語言類的計算機課程。中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校學(xué)生在校學(xué)習(xí)的時間一般只有兩年左右，為了使學(xué)生在較短的時間內(nèi)獲取更多的實用知識與技術(shù)，學(xué)校應(yīng)當(dāng)注意注重知識的先進性，結(jié)合時代的要求，開設(shè)新的實用功能較高的專業(yè)，取消一些實用價值低的陳舊的課程，對理論知識的學(xué)習(xí)以少而精為原則，注意其適度性。此外，編程類課程復(fù)雜難懂，教學(xué)效率較低，應(yīng)當(dāng)盡量少開。第三，計算機課程的設(shè)置應(yīng)當(dāng)注意課程的實用性與課程結(jié)構(gòu)的模塊化。中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校在開設(shè)計算機專業(yè)課程時，應(yīng)當(dāng)注意了解企業(yè)的最新發(fā)展動態(tài)，關(guān)注計算機專業(yè)領(lǐng)域的新技術(shù)和新方法，通過校企合作等方式，為學(xué)生提供培訓(xùn)和實習(xí)的機會。在課程結(jié)構(gòu)的模塊化方面，計算機教學(xué)應(yīng)當(dāng)注意加強理論與實踐之間的有機結(jié)合，提高學(xué)生的操作能力。
（二）加強對計算機專業(yè)學(xué)生的實踐教育，提高學(xué)生的實踐能力
第一，在教學(xué)的環(huán)節(jié)中，應(yīng)盡可能地為學(xué)生提供上機實作的機會。實作教學(xué)是計算機教學(xué)的重要組成部分，也是決定計算機教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)真選擇實作教學(xué)的內(nèi)容，較多地選取設(shè)計性的項目為實作內(nèi)容，減少驗證性項目的選擇。第二，通過開設(shè)技能興趣小組活動的形式來提高學(xué)生的計算機實踐能力。學(xué)校可以以企業(yè)和工作崗位的技能要求為依據(jù)開展各種興趣小組活動，讓學(xué)生依據(jù)自己的興趣愛好以及從業(yè)需要進行自主選擇。第三，轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，加強學(xué)生的實際操作練習(xí)。計算機專業(yè)是一門操作性與實用性很強的專業(yè)，但是我國當(dāng)前在教學(xué)中普遍存在著重理論而輕實踐的現(xiàn)象。因此，中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校在進行計算機教學(xué)的過程中，應(yīng)當(dāng)注意增加學(xué)生練習(xí)的時間，增加學(xué)校微機室開放的時間，加強學(xué)生的實際操作練習(xí)。
高等數(shù)學(xué)是自然科學(xué)和工程科學(xué)的基礎(chǔ)。一方面，高等數(shù)學(xué)能為后繼課程和解決實際問題提供必不可少的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及常用的數(shù)學(xué)方法。另一方面，通過學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，可逐步培養(yǎng)學(xué)生具有初步抽象概括問題的能力，一定的邏輯推理能力，比較熟練的運算能力，綜合運用所學(xué)知識去分析問題、解決問題的能力。扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)思維方法的運用是學(xué)生成才必備的素養(yǎng)。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)許多理科進校的學(xué)生覺得很多內(nèi)容好像已學(xué)過。但是高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)相比，對學(xué)生的要求卻有很大的不同，對數(shù)學(xué)的定理、概念的敘述及分析更加深入、更加嚴(yán)密，不僅要求學(xué)生熟練掌握最基本的運算，而且要求學(xué)生具備分析問題、解決問題的能力。這也是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一個難點，因而怎樣在中學(xué)的基礎(chǔ)上講授高等數(shù)學(xué)，以便很好引導(dǎo)學(xué)生適應(yīng)這種轉(zhuǎn)變和要求值得研究。筆者就該問題談一些看法，不妥之處，敬請指教。
一、深入調(diào)查，摸清情況，循序漸進
首先應(yīng)研究中學(xué)教材，了解學(xué)生的實際情況。許多學(xué)生數(shù)學(xué)的運算能力是不錯的，但學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法不夠科學(xué)，他們往往是死套公式，背結(jié)論，忽視了每一個定理、公式適用的條件和范圍。超出了這些限制，公式就完全不能應(yīng)用。還有的學(xué)生表達能力較差，簡單的證明題說不清楚，能夠簡潔扼要敘述的不多。考慮到學(xué)生邏輯思維能力的形成與發(fā)展是一個循序漸進的過程，只有呈現(xiàn)思維形成的軌跡，才能便于學(xué)生操作，引導(dǎo)學(xué)生逐漸獲取思維的方法，進而實現(xiàn)內(nèi)化，強調(diào)形成性。要掌握一個數(shù)學(xué)概念本來就不容易，因此我們不能要求學(xué)生碰到一個新概念就能深刻理解，可以從初步認(rèn)識到熟練掌握循序漸進，然后通過多次反復(fù)實踐，逐步提高。例如高等數(shù)學(xué)中“導(dǎo)數(shù)”這個概念，許多學(xué)生在中學(xué)已學(xué)會了求導(dǎo)，而且有部分學(xué)生對一些簡單的求導(dǎo)運算相當(dāng)熟練，但可以說絕大部分學(xué)生對“導(dǎo)數(shù)”這個概念十分模糊。為了能正確理解導(dǎo)數(shù)是什么，在講概念之前先從幾個學(xué)生非常熟悉的例子中，例如變速直線運動的質(zhì)點的瞬時速度問題和曲線的切線問題引申出導(dǎo)數(shù)的概念，使學(xué)生對一個抽象概念有一個直觀的認(rèn)識；為了能對它有個更鞏固深刻的理解，在求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時特別強調(diào)分段點必須用導(dǎo)數(shù)的定義求，有相當(dāng)一部分學(xué)生求分段點的導(dǎo)數(shù)是利用導(dǎo)函數(shù)的極限去求的，即他們認(rèn)為limxaf'（x）就是a點的導(dǎo)數(shù)。但我們可以舉一個簡單的例子，設(shè)函數(shù)為f（x）=x2sin1x，x=00，x=0，用導(dǎo)數(shù)定義有，f'（0）limx0x2sin1xx=limx0xsin1x=0得在x=0點可導(dǎo)。但又發(fā)現(xiàn)用公式f'（0）=limx0f'（x）=limx02xsin1x-cos1x極限不存在，結(jié)論x=0點不可導(dǎo)。從矛盾的結(jié)論讓學(xué)生先發(fā)現(xiàn)問題，再讓他們尋找問題的根源，最后得出結(jié)論是：忽視了公式適用的條件，而引起了錯誤。其實用f'（x）的極限去計算某一點的導(dǎo)數(shù)，需要兩個條件：其一要求f（x）在a點連續(xù)；其二要求limxaf'（x）極限必須存在。當(dāng)f（x）在a點不連續(xù)時，可得f（x）在a點必不可導(dǎo)，而當(dāng)?shù)诙l件不滿足，即limxaf'（x）不存在時未必不可導(dǎo)。前面例子就說明這一問題，從中使學(xué)生懂得不僅要熟練計算出導(dǎo)數(shù)，而且要理解導(dǎo)數(shù)的真正含義。
二、明確基本要求，抓重點和難點
考慮到學(xué)生在高中已具備一定的數(shù)學(xué)知識，如第一章中許多概念在中學(xué)時已學(xué)過，因此課堂上對已掌握的內(nèi)容可不講或只是總結(jié)一下。對已學(xué)過但未能掌握好的內(nèi)容，講課時應(yīng)盡量避免與中學(xué)重復(fù)，可以從不同方面去闡述，或先提出一些問題，引導(dǎo)學(xué)生去思考，激發(fā)他們的興趣，然后再把問題講深講透，加深學(xué)生對某些概念的理解，這樣教學(xué)的效果會好些。如許多學(xué)生對極限這個概念只有一個很初步的認(rèn)識，往往錯誤地說成：“變量與某一常量之差越來越接近與零，稱這常量就是該變量在變化過程中的極限。”要使學(xué)生認(rèn)識到這句話的錯誤可舉一個例子，如xn=1+（-1）nn，顯然有l(wèi)imn∞xn=0。但它沒有滿足越來越接近于零的要求。又如許多學(xué)生不能正確區(qū)分“越來越接近”和“無限接近”的含義，也可通過例子xn=1n，得limn∞xn=0，但當(dāng)n+∞時，1n與-1也越來越接近，我們能否說-1是數(shù)列1n的極限呢？顯然是不正確的。所以要真正理解這個概念，一定要真正理解極限這個概念所描述的接近程度，使學(xué)生對極限有更深一層的認(rèn)識。再如學(xué)生對極限的四則運算有了一定的了解，但他們往往只能解決一些簡單的極限問題，而對于稍復(fù)雜點的題目就無從著手。存在這一問題的根本還是在于死套公式，沒有真正理解公式所使用的條件。
三、培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力，引導(dǎo)學(xué)生改進學(xué)習(xí)方法
自學(xué)能力是每一個大學(xué)生必備的能力之一，授人以“漁”。因材施“導(dǎo)”，努力教會學(xué)生自學(xué)，培養(yǎng)自學(xué)能力，是教之根本。開始時可以列出自學(xué)指導(dǎo)提綱，引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，怎樣讀，怎樣的疑點和難點，怎樣歸納，然后逐步放手，學(xué)生逐步提高。使學(xué)生課前做到心中有數(shù)，上課帶著問題專心聽講，課后通過復(fù)習(xí)，落實內(nèi)容才做習(xí)題，這樣能使學(xué)生開動腦筋，提高成績，而學(xué)生有了自學(xué)習(xí)慣和自學(xué)能力，就能變被動為主動學(xué)習(xí)。
引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成課前預(yù)習(xí)的習(xí)慣。高等數(shù)學(xué)課堂容量大，知識點多，有時一節(jié)課便要學(xué)習(xí)幾個定義、定理、公式，學(xué)生若不進行課前預(yù)習(xí)，便很難跟上教師講解，也難保證聽課的針對性。事實上，學(xué)生做好課前預(yù)習(xí)，真正做到帶著問題聽講，可以明顯地提高教學(xué)效率，也就能較快適應(yīng)強度較大的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會聽課。學(xué)生在課堂上必須專心聽講，特別是教師對核心概念的介紹、定理的分析、典型例題的講解，同時要善于獨立思考，歸納總結(jié)出解題的數(shù)學(xué)思想和方法，找出解題的一般規(guī)律和特殊規(guī)律，最后還應(yīng)適當(dāng)作些筆記或批注，以提高聽課效率；引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)自我反思自我總結(jié)的良好習(xí)慣。高等數(shù)學(xué)概括性強，題目靈活多變，只靠課上聽懂是不夠的，需要課后進行認(rèn)真消化，歸納總結(jié)。為此，在每章結(jié)束時，我們應(yīng)幫助學(xué)生進行自我章節(jié)小結(jié)，在解題后，積極引導(dǎo)學(xué)生反思解題思路和步驟，思一題多解和一題多變，加深對概念和知識的理解，掌握數(shù)學(xué)的基本思想方法。
參考文獻
一、用中值定理對命題的證明
在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生對于使用羅爾中值定理，對一些命題進行證明的時候往往得不到要點，解不出相關(guān)的題目。這種類型的題目的特點是比較抽象，需要有一定的想象能力、觀察能力。在此以以下三個題目為例，對此類型的題目做一些歸納總結(jié)。
例1：證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點ξ∈（a,b），使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。（該題為2009年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)三的真題）
這個題目是教材上的定理教材作了詳細(xì)的證明。有一本教材是這樣證明的：
作輔助函數(shù)φ(x)=f(x)-f(a)- (x-a)
由定理假設(shè)易知φ(x)滿足條件：（1）在閉區(qū)間在[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)可內(nèi)導(dǎo)；（3）φ(a)=φ(b)=0，因此由羅爾定理可知，至少存在一點ξ∈(a,b)，使得φ'(ξ)=f'(ξ)- =0即f'(ξ)= 。
有不少學(xué)生會學(xué)得為什么要造讓φ(x)=f(x)-f(a)- (x-a)這樣的輔助函數(shù)，理論依據(jù)是什么，如果沒有依據(jù)是很難聯(lián)想到這樣的函數(shù)的。
例2：已知常數(shù)b＞0，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(0,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點ξ∈(0,b)，使得f(ξ)+ξf'(ξ)=f(b)。
證明方法如下
證明：作輔助函數(shù)，φ(x)=xf(x)-f(b)x顯然φ(x)滿足條件：（1）在閉區(qū)間在[0,b]上連續(xù)；（2）在(0,b)可內(nèi)導(dǎo)；（3）φ(0)=φ(b)=0因此由羅爾定理可知，至少存在一點ξ∈(0,b)，使得φ'(ξ=)f(ξ)+ξf'(ξ)-f(b)=0即f(ξ)+ξf'(ξ)=f(b)。
這個題目與拉格朗日中值定理的證明有很大的類似之處，不同的是輔助函數(shù)不同，應(yīng)用羅爾中值定理的區(qū)間具體化了，函數(shù)不同了。下面一個例子難度就更大了，借助于這個例子我們可以從中找出規(guī)律。
例3：證明：已知函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，f(b)=0，則至少存在一點ξ∈(0,b)，使得f'(ξ)= 。
證明方法如下：
證明：作輔助函數(shù)φ(x)=(x-a)bf(x)，顯然φ(x)滿足條件：（1）在閉區(qū)間在[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)可內(nèi)導(dǎo)，由拉格朗日中值定理可知：至少存在一點ξ∈(0,b)，使得φ'(ξ)= ，整理后可得f'(ξ)=
這個證明題的難點在于，輔助函數(shù)的構(gòu)造很難。遇到這個題目，頭腦比較靈活的學(xué)生會想到令φ(x)=(x-a)f(x)，但這樣卻達不到解題的目的。
那么這一類型的題目有沒有相應(yīng)的依據(jù)呢。我們可以沿著這樣的思路去解這個題目：在微分學(xué)中，只有兩個定理可以證明存在一點ξ∈(a,b)，使得某個等式成立。這兩個定理分別是介值定理和中值定理。介值定理中不含有某一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此對于該題目不適用。那只有用中值定理，而中值定理分為三個，分別是：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。但后兩者都是在羅爾中值定理的基礎(chǔ)上得以證明的。因此我們只需要使用羅爾中值定理即可解出這一類題目。羅爾定理的內(nèi)容是：如果函數(shù)f(x)滿足條件：（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)可內(nèi)導(dǎo)；（3）在區(qū)間兩個端點的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，則至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。羅爾定理的主體是一個函數(shù)和一個區(qū)間。要想使用羅爾中值定理必須找到一個函數(shù)和一個區(qū)間，而區(qū)間往往是題目已經(jīng)給定的，所以重點就在于找一個輔助函數(shù)，然后應(yīng)用羅爾定理，證明出該題目。因為要證明的是：f'(ξ)= ，整理后可得： +f'(ξ)=0，這種形式與羅爾定理的結(jié)論比較接近了，但是我們?nèi)耘f不容易找出哪一個函數(shù)在ξ處的導(dǎo)致為 +f'(ξ)，聯(lián)想到[eg(x)f(x)]'=eg(x)[g'(x)f(x)+f'(x)]，我們令g'(x)= ，然后求出g(x)那么令φ(x)=eg(x)f(x)，將是我們需要的輔助函數(shù)。不難求出eg(x)=(x-a)b，然后對函數(shù)φ(x)=(x-a)bf(x)在區(qū)間[a,b]上使用羅爾中值定理即可解出該題目。
該類題目看似是微分學(xué)的內(nèi)容，卻使用了不定積分的方法，這也是這類型題目的難的地方。希望這種方法可以給講授微積分課程的老師和學(xué)習(xí)微積分課程的學(xué)生帶來一定的幫助。
二、數(shù)學(xué)期望存在的一個條件的說明
離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義是：設(shè)隨機變量X的分布率為P{X=xi}=pi(k=1,2,…)，EX= x p{X=x }= x P 稱為X的數(shù)學(xué)期望。（注：若X的可能值的個數(shù)是可數(shù)的，要求級數(shù) x P 絕對收斂）由于有些課本對此沒有進一步說明讀者難以深刻理解在此做以說明。
因為離散型隨機變量的可能值x1,x2,…xr,…之間實際上沒有先后順序的關(guān)系，故要求級數(shù)絕對收斂，因此只有絕對收斂級數(shù)的和才與其項的順序無關(guān)。例子如下：
由于若x∈(-1,1)，則In(1+x)=(-1)n+1 xn+…，
當(dāng)x=1時， (-1)=1- + - + - + - +…=1n2①
上式乘以 后，有(-1)= - + - +…= 1n2②
①+②可得：1+ - + - - +…= 1n2
因此離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望必須加上一個條件就是：若X的可能值的個數(shù)是可數(shù)的，要求級數(shù) x p 絕對收斂。
以上兩個問題是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的難點，也是作者本人在教學(xué)過程中一總結(jié)，希望對在學(xué)習(xí)微積分和概率論課和中的學(xué)生有所幫助。
參考文獻：
一、項目教學(xué)
（ 一） 含義。項目教學(xué)是指在教師引導(dǎo)下，學(xué)生自己處理相對獨立的項目，通過對信息的收集、方案設(shè)計、項目實施到最終評價全部由學(xué)生自主完成、自行負(fù)責(zé)，學(xué)生通過對該項目的研究，掌握項目執(zhí)行的全部流程和環(huán)節(jié)基本要求。項目教學(xué)的顯著特征是以項目為主線、教師引導(dǎo)、學(xué)生主體。
（ 二） 特點
1. 目標(biāo)多重性。通過轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)教學(xué)方式，促進學(xué)生發(fā)揮主觀能動性，營造積極的學(xué)習(xí)氛圍，激發(fā)學(xué)生興趣和創(chuàng)造力，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力。教師通過項目指導(dǎo)，轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念和教學(xué)方式，從知識傳授者變?yōu)橹R引導(dǎo)者和促進者。學(xué)校建立全新課程理念，逐步完善課程體系，完成教學(xué)改革。
2. 周期短、見效快。項目教學(xué)通常是在較短時間內(nèi)、有限的空間范圍內(nèi)進行，教學(xué)效果可測評性較好。
3. 理論實踐結(jié)合。項目完成的過程首先需要相應(yīng)理論知識作為指導(dǎo)，所以要求學(xué)生首先熟練掌握相應(yīng)只是原理，結(jié)合理論制定項目實施計劃，通過理論指導(dǎo)解決項目實施探究過程中出現(xiàn)的問題，在得出結(jié)論之后在反饋回理論，以實踐結(jié)果驗證、更新、延伸理論[1].
二、教學(xué)現(xiàn)狀
（ 一） 課程定位不明。高等數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)性學(xué)科，其課程內(nèi)容和教學(xué)方式都是為專業(yè)課程奠定基礎(chǔ)，目前我國高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)缺乏明確定位，知識原理體系相對繁瑣抽象，對不同專業(yè)和不同層次的學(xué)生缺乏針對性，因而成為一門相對獨立的課程，與其他專業(yè)脫節(jié)。
（ 二） 教學(xué)目標(biāo)滯后。受傳統(tǒng)應(yīng)試教育影響，目前我國高等數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)主要是以指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握理論知識為主，缺乏對學(xué)生實踐能力和綜合能力的培養(yǎng)。高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容繁雜，理論體系較為嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)習(xí)過程相對枯燥抽象，不易理解，同時教學(xué)順序的安排要求學(xué)生在固定時間內(nèi)理解掌握教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)中教師要兼顧課程進度和學(xué)生知識掌握情況，一定程度上限制了教師教學(xué)的靈活性，忽視了學(xué)生個人能力的重要性。
（ 三） 考核模式單一。雖然素質(zhì)教育已經(jīng)提倡多年，但應(yīng)試教育的考核模式依舊沒有得到改變，學(xué)校依舊通過學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)對教師教學(xué)水平進行評估，教師依舊通過成績對學(xué)生學(xué)習(xí)進行評價，考試成績直接同獎學(xué)金掛鉤，所以出現(xiàn)很多考前臨陣磨槍，考后即忘的現(xiàn)象，學(xué)生個人能力得不到發(fā)展，基礎(chǔ)知識掌握不牢固[2].
三、實施項目引導(dǎo)
（ 一） 完善教學(xué)定位。高等數(shù)學(xué)依照不同專業(yè)和層次的學(xué)生可以進行三種定位： 一是作為數(shù)學(xué)專業(yè)，著重培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、計算能力、邏輯證明能力等數(shù)學(xué)應(yīng)用能力； 二是針對理工科和商科學(xué)院學(xué)生，以高等數(shù)學(xué)為專業(yè)基礎(chǔ)，著重培養(yǎng)基本數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)概念、理論、計算應(yīng)用等； 三是偏向文科以及高職院校學(xué)生，以數(shù)學(xué)為工具，著重培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力。
（ 二） 確立教學(xué)目標(biāo)。以掌握微積分相應(yīng)知識和計算能力為基礎(chǔ)，通過運用變量進行問題解決初步訓(xùn)練，注重實踐能力和綜合能力的培養(yǎng)，通過項目引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理和主觀能動性，在解決問題和考核評價的過程中形成團隊協(xié)作和書面表達能力，以解決未來相關(guān)專業(yè)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問題。教學(xué)中可以引進數(shù)學(xué)建模，增加實踐項目，在各單元設(shè)立單元項目，在實踐學(xué)期設(shè)立實踐綜合項目，能夠幫助學(xué)生利用所學(xué)知識解決生活中實際遇到的問題，將課堂教學(xué)延伸至社會生活[3].
（ 三） 完善考核項目。在原有考核項目基礎(chǔ)上，新增對綜合能力考核和項目實施考核，將學(xué)生日常綜合能力評價和項目實施評價引入總測評中，根據(jù)學(xué)校教學(xué)情況明確規(guī)范所占比重。考評方式可以吸收國外高等學(xué)府模式，例如新加坡國立大學(xué)考評，學(xué)生綜合能力考評以教師評價和小組互評的方式實現(xiàn)，項目實施評價以項目實施過程、結(jié)果報告和答辯的形式測評。
初中的數(shù)學(xué)內(nèi)容較小學(xué)教學(xué)內(nèi)容更系統(tǒng)和深入，涉及面更廣。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)該注重基礎(chǔ)知識的教學(xué)，幫助學(xué)生打下厚實的基礎(chǔ)，以利于學(xué)生以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。首先應(yīng)該擺正師生關(guān)系，在中國的教育當(dāng)中一直強調(diào)著“師道尊嚴(yán)”。教師在課堂上一般都是居高而上，普遍都是教師在講臺上講，學(xué)生在下面埋頭“消化”教師講的知識點。教師掌握著上課的節(jié)奏，這樣學(xué)生顯得很被動。在初中不等式教學(xué)當(dāng)中涉及很多的知識點，學(xué)生僅僅知道一些公式而不會運用是教學(xué)的一種失敗。基礎(chǔ)知識在教學(xué)當(dāng)中就顯得尤為重要。不等式的解題方式多樣，內(nèi)容豐富，技巧性較強并且要依據(jù)題設(shè)、題的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕忸}方法，就要熟悉解題中的推理思維，需要掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點。而這一切都是建立在學(xué)生有夯實的基礎(chǔ)之上的。學(xué)生的基礎(chǔ)知識不扎實的話，在解不等式題時就步履維艱。
夯實的基礎(chǔ)來源于學(xué)生對不等式概念知識的掌握和運用，而概念的形成有一個從具體到表象再到抽象的過程。對不等式抽象概念的教學(xué)，更要關(guān)注概念的實際背景和學(xué)生對概念的掌握程度。數(shù)學(xué)的概念也是數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)，學(xué)生學(xué)習(xí)不等式知識點也是從概念的學(xué)習(xí)開始的。所以在不等式教學(xué)探究中教師應(yīng)注重學(xué)生的基礎(chǔ)。
二、注重學(xué)生對知識的歸納和整理
提高初中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)效果，首先要培養(yǎng)學(xué)生主動探索數(shù)學(xué)知識的精神，通過尋求不同思維達到解題效果來激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。引導(dǎo)學(xué)生主動去對數(shù)學(xué)不等式知識進行探究，通過結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來形成一個完整的知識網(wǎng)絡(luò)，以幫助學(xué)生完成更深入地數(shù)學(xué)知識探究。同時初中數(shù)學(xué)不等式知識點的學(xué)習(xí)對學(xué)生歸納能力提出了較高的要求。靈活使用概念能夠幫助學(xué)生熟練地運用數(shù)學(xué)知識，對不等式這一章節(jié)知識點的掌握歸納和整理進行綜合的運用從而能夠成功地解題。例如，在含有絕對值的不等式當(dāng)中：解關(guān)于x的不等式2+a0時，解集是；（2）當(dāng)—2≤a0時，解集為空集；（3）當(dāng)a—2時，解集為。當(dāng)學(xué)生對知識點進行歸納和整理后，學(xué)生也就不會馬失前“題”。
，年8月出生，年7月畢業(yè)于師范學(xué)院數(shù)學(xué)系本科學(xué)歷，學(xué)士學(xué)位，中學(xué)高級教師，現(xiàn)任教于職教中心，從事教育工作十八年來，同志以一個青年教師的高度責(zé)任感和無私奉獻的精神，創(chuàng)造性地完成了教育教學(xué)工作。年被承德市婦聯(lián)授予“巾幗明星”，年被評為縣“三育人先進工作者”，年被縣政府評為“百名優(yōu)秀教師”，同時受到縣政府嘉獎，年由于工作突出，被承德市人民政府榮記“二等功”，年再次被縣政府授予“嘉獎”，年經(jīng)學(xué)校推薦上報省級職教學(xué)科帶頭人。
對待教學(xué)工作，老師滿腔熱忱，傾心投入，不斷提高教育教學(xué)藝術(shù)水平，對教學(xué)工作中的“備、講、批、輔、考、研”六大環(huán)節(jié)，總是以精益求精的工作態(tài)度，進行深入研究與探討。備課時，她非常注意備教材、備學(xué)生、備教法、備教具、備練習(xí)作業(yè)、備板書，在講授每一節(jié)新課前，她都要反復(fù)研究幾種不同風(fēng)格、不同特色的相關(guān)資料，同時做大量的習(xí)題，從而明確每堂課的重點、難點及講授方法。在教學(xué)過程中，她結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗和教學(xué)思考，不斷對往年的教案做精心的調(diào)整，做到每教一遍課總能有一些新的提高，講課時，她教態(tài)親切、熱情、穩(wěn)重，語言清楚、準(zhǔn)確、精煉、形象、生動，注意用自己的儀表風(fēng)度、音容笑貌和風(fēng)趣幽默感染學(xué)生，注重運用啟發(fā)式和學(xué)生自主探究式的教學(xué)方法，充分調(diào)動學(xué)生的積極性和成功意識，注重因材施教、分層教學(xué)，精心準(zhǔn)備引例和典型例題，提高學(xué)生的注意力；輔導(dǎo)時注重耐心細(xì)致，批改學(xué)生的作業(yè)始終認(rèn)真細(xì)致，在對學(xué)生的考核過程中始終堅持客觀公正；在教學(xué)研究方面，她積極探究教育教學(xué)方式方法，不斷提升教育教學(xué)效果。幾年來她始終開展讓學(xué)生寫“數(shù)學(xué)日記”的活動，并且堅持每天批改，雖然增加了工作量，但由于效果明顯，她認(rèn)為還是值得的。由于潛心工作，老師取得了很好的教學(xué)成績，在年的對口升學(xué)中，她所教班級的數(shù)學(xué)成績平均分為123分，及格率100%，優(yōu)秀率達到85%，升學(xué)率100%，在年、年、年三年中，她所擔(dān)任的高三數(shù)學(xué)高考成績，每年都有明顯提高，為職中對口升學(xué)連續(xù)佳績做出了應(yīng)有的貢獻。
在任班主任工作中，她始終堅持以正確的人生觀、價值觀和世界觀引導(dǎo)學(xué)生，以集體主義精神凝聚學(xué)生，以和諧的人際關(guān)系陶冶學(xué)生，以科學(xué)的班級管理規(guī)范學(xué)生，以班主任的自身形象感染學(xué)生，取得了良好的教育效果。為了做好學(xué)生的思想工作，她經(jīng)常到班級，進宿舍與學(xué)生談心，做到嘴勤、手勤、腿勤。年她接任畢業(yè)班的班主任工作，雖然患有腰椎間盤突出，還未痊愈，但她每天早晚堅持到校跟班，掌握班級情況，直到學(xué)生畢業(yè)。她真摯的情感，感染帶動了學(xué)生，把她視為典范和知己，有什么心里話都愿意和她談，她所擔(dān)任班主任的班級，在全校量化考核中始終名列前茅，學(xué)生的思想優(yōu)良、身心健康、和諧向上。年，她所帶的班級6人上本科線，3人考入農(nóng)業(yè)大學(xué)，現(xiàn)均考上研究生，年她所帶的班級被評為市級“優(yōu)秀班集體”，年5人上本科線，2人考入師范大學(xué)，1人考入經(jīng)貿(mào)大學(xué)，2人考入科技師范學(xué)院，年更有多名學(xué)生考入北方學(xué)院、科技師范學(xué)院、衡水學(xué)院等高等院校。
教學(xué)之余，老師積極參加教科研活動。在參加市級課題《建模法解數(shù)學(xué)應(yīng)用問題》的研究過程中，她積極撰寫論文，在《數(shù)理化學(xué)習(xí)》、《數(shù)理化解題研究》等各級報刊雜志上發(fā)表文章十余篇；撰寫的論文《淺談數(shù)學(xué)應(yīng)用問題中的德育滲透》獲省職教數(shù)學(xué)論文評比二等獎，在年全國中等職業(yè)學(xué)校優(yōu)秀數(shù)學(xué)教學(xué)案例和活動課評選活動中獲三等獎；教學(xué)設(shè)計《圓錐曲線復(fù)習(xí)》獲二等獎。
在成績面前，表示自己不會滿足，更不會停滯不前，仍將勤勤懇懇工作，兢兢業(yè)業(yè)育人，為職教的發(fā)展，做出更大的貢獻。
中等職業(yè)學(xué)校的學(xué)生大多是基礎(chǔ)教育中的弱勢群體，他們中有些學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)不好并非智力水平低，而是由于非智力因素影響所致。非智力因素屬于人的非認(rèn)知性心理系統(tǒng)，是指學(xué)生學(xué)習(xí)積極性方面的因素，如動機、興趣、情感、性格、意志、習(xí)慣等。這些學(xué)生求知欲低，學(xué)習(xí)信心不足，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度不夠端正，缺乏學(xué)習(xí)興趣和克服困難的堅強意志。課堂上對老師提出的問題和布置的練習(xí)漠不關(guān)心，缺乏積極思考的動力；課后對老師布置的作業(yè)馬虎應(yīng)付，遇難不究，抄襲了事；對考試缺乏競爭意識，馬虎應(yīng)付，考場上“臨場發(fā)揮”。而非智力因素在學(xué)習(xí)過程中起著動力性作用，能使學(xué)生形成堅定的意志、頑強的毅力，培養(yǎng)起對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣乃至情感，促進智力的發(fā)展。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中必須將非智力因素的培養(yǎng)放在首位，以非智力因素的發(fā)展促進教學(xué)活動順利的開展。
一、培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情動力
興趣是人們經(jīng)常傾向于認(rèn)識掌握某種事物，并力求參與該項活動的心理特征。興趣能直接轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)動機，成為激勵學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動力。有人就興趣對學(xué)習(xí)的影響進行了調(diào)查（調(diào)查對象為初中生），結(jié)果表明，在語文、數(shù)學(xué)、外語三科中，學(xué)習(xí)興趣與成績的相關(guān)系數(shù)均達顯著水平，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)受興趣影響最大。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，首先，應(yīng)以數(shù)學(xué)學(xué)科的價值喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，樹立正確的學(xué)習(xí)目的，形成良好的學(xué)習(xí)動機。教學(xué)中可將社會就業(yè)對學(xué)生提出的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要求，用學(xué)生易于接受的方式，結(jié)合具體形象事例介紹，讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對自己今后就業(yè)的直接聯(lián)系，從而產(chǎn)生就業(yè)危機感和學(xué)習(xí)責(zé)任感，獲得發(fā)展非智力因素的內(nèi)動力。其次，教師應(yīng)有意識地將現(xiàn)實中數(shù)學(xué)素材滲透于教學(xué)之中，如分期付款、體育彩票，增強數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性，喚起學(xué)生對數(shù)學(xué)的親切感和濃厚興趣，從而體會到數(shù)學(xué)在發(fā)展和完善人的教育活動中、在形成人們認(rèn)識邏輯的態(tài)度和思想方法方面、在推動社會進步和發(fā)展的進程中起著重要的作用。這樣的感受能使學(xué)生增進對數(shù)學(xué)的理解和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
二、鍛練學(xué)生堅強的意志品質(zhì)
數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)，形式化的抽象內(nèi)容，精確、簡潔、通用的數(shù)學(xué)語言，這些基本特點既是對人的智力訓(xùn)練，也是對人意志力的考驗。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)道路上必然會碰到許多困難，而良好的意志對學(xué)生的智能發(fā)展有強化和推動作用。因此數(shù)學(xué)教師應(yīng)不斷注意培養(yǎng)學(xué)生的意志力。中專生處于智、情、意發(fā)展的重要時期。他們都具有可塑性大、上進心強、精力充沛等特點，但他們的思想情感容易波動，缺乏克服困難的信心和毅力。經(jīng)常表現(xiàn)為下定決心要好好學(xué)習(xí)，但沒多久又被各種欲望代替，無法集中學(xué)習(xí)。教學(xué)中教師應(yīng)有目的地介紹一些數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)軼事，用榜樣言行產(chǎn)生的范例教育學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生的意志，提高自我控制力。如：歐拉時常抱著孩子寫數(shù)學(xué)論文，雙目失明后堅持用記憶和心算研究數(shù)學(xué)達十七年之久。教學(xué)中可指導(dǎo)學(xué)生將自己的計劃和誓言寫在醒目處，確定一個個小目標(biāo)，從聽懂一節(jié)課、會解一道題開始。指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會嚴(yán)守計劃，按時完成作業(yè)，養(yǎng)成自我檢查、自我監(jiān)督、自我鼓勵的習(xí)慣。給學(xué)生提供獨立活動克服困難的機會，教師積極啟發(fā)誘導(dǎo)，學(xué)生經(jīng)過自己的努力，獨立探索克服困難的方法和途徑。對于意志力較弱的學(xué)生，教師在課堂內(nèi)及課后要多給予關(guān)注和監(jiān)督，逐步培養(yǎng)其學(xué)習(xí)的自覺性、堅持性、自制性。
三、培植學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心
自信心對學(xué)生的順利成長非常重要，自信心能保護學(xué)生的心理健康，能發(fā)掘?qū)W生的潛能，也能支撐意志的錘煉。數(shù)學(xué)老師要全面了解學(xué)生的思想實際、學(xué)習(xí)實際和心理特征，幫助他們克服自卑和自暴自棄的心理，讓學(xué)生認(rèn)識到人的智能可通過培養(yǎng)和訓(xùn)練得到提高。首先，在教學(xué)的過程中可針對不同的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)環(huán)節(jié)對學(xué)生作具體學(xué)習(xí)方法上的指導(dǎo)，而不是讓學(xué)生越學(xué)越感到玄乎，甚至于對自己的智力產(chǎn)生懷疑。如指導(dǎo)學(xué)生用正確的方法預(yù)習(xí)、聽課、復(fù)習(xí)，讀、思、記，使學(xué)生掌握基本的學(xué)習(xí)方法并靈活運用于學(xué)習(xí)之中，提高學(xué)習(xí)效率，逐漸形成較強的學(xué)習(xí)能力，從而體會成功的喜悅，感受學(xué)習(xí)的樂趣。其次，在輔導(dǎo)學(xué)生時教師不能提示過多，不能讓學(xué)生感到教師對其能力缺乏信任；不能輕視學(xué)生，更不能用否定性語言懷疑學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。教師應(yīng)努力發(fā)掘?qū)W生的點滴進步，在語言和行為上對學(xué)生多一些鼓勵，少一些批評；多一些肯定，少一些懷疑，精心保護和培植每一個學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，使學(xué)生親其師信其道，逐漸增強學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。
近年來，人們重點關(guān)注普通高中課堂教學(xué)改革，但很少關(guān)注職教課堂教學(xué)改革， 而對職教中作業(yè)改革和研究，顯得少之又少。隨著中職招生規(guī)模擴大，給教學(xué)帶來了前所未有的困惑與挑戰(zhàn)，進行教學(xué)改革成了刻不容緩的課題。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，布置作業(yè)是不可缺少的環(huán)節(jié)。“作業(yè)觀”是關(guān)于作業(yè)的一種本能的習(xí)慣性的總體的看法。
在以前，很多數(shù)學(xué)教師形成了幾乎一致的作業(yè)觀：作業(yè)是教師布置的有明確答案的一道道書面練習(xí)題；力求能夠體現(xiàn)教材內(nèi)容的要點、重點和難點，追求作業(yè)題型與高考題型的一致性。今天，對作業(yè)的理解正在被新的認(rèn)識所取代：有標(biāo)準(zhǔn)答案的練習(xí)題不是作業(yè)的唯一和主要形式；作業(yè)應(yīng)該豐富多彩、形式多樣，是開放的而不是封閉的；作業(yè)不一定是學(xué)生個人行為，可以由學(xué)生合作完成、在生活實踐中完成；做作業(yè)是一種綜合性很強的活動，成為對知識的一種綜合運用。
目前，中職數(shù)學(xué)在作業(yè)設(shè)計與安排上存在的主要問題是：作業(yè)布置隨意，內(nèi)容重復(fù)，形式單一，作業(yè)一統(tǒng)化等。不僅作業(yè)的作用沒有發(fā)揮好，影響教學(xué)的效率和質(zhì)量，而且抑制了學(xué)生的主體意識，忽視了實踐能力、創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。那么，怎樣設(shè)計作業(yè)，才能增強學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣、促進對數(shù)學(xué)的理解，讓作業(yè)成為學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的有效途徑呢？根據(jù)一些專家和學(xué)者對作業(yè)問題的研究，結(jié)合自己多年的實踐和探索，在作業(yè)設(shè)計時應(yīng)該關(guān)注以下方面：
一、要抓典型性，強調(diào)基礎(chǔ)性實用性和靈活性
布置典型的練習(xí)題，可反映本節(jié)課的知識重點、解析教材知識，不僅能讓學(xué)生感知和深刻理解教材內(nèi)容，而且對加大知識運用的力度有舉足輕重的作用。
過去的題海戰(zhàn)術(shù)，學(xué)生被作業(yè)壓得透不過氣來，疲于奔命，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)的厭惡和敬而遠之。而今，作業(yè)的布置應(yīng)講究“精”，要有代表性，以減少學(xué)生盲目、重復(fù)、無效的勞動，要對培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生思維的深刻性、靈活性起到了作用。
作為作業(yè)的練習(xí)題的指向盡量和考試題型合拍，尤其要從中職數(shù)學(xué)教學(xué)的特點出發(fā)，根據(jù)教學(xué)大綱要求，考慮到為不同專業(yè)、不同水平、不同發(fā)展需求而設(shè)計作業(yè)；作業(yè)的布置應(yīng)更加突出知識的基礎(chǔ)性、應(yīng)用性以及學(xué)生獲取知識手段的多樣性；題目的選擇盡量貼近職校生的學(xué)習(xí)與生活實際，體現(xiàn)“實用為主、夠用為度”的學(xué)習(xí)理念。
二、加強針對性，著眼于中職數(shù)學(xué)教學(xué)的實際
布置作業(yè)要緊緊圍繞教學(xué)目標(biāo)、切合教學(xué)內(nèi)容，使習(xí)題與基本知識、基本技能有機的統(tǒng)一起來，讓學(xué)生在做作業(yè)的過程中掌握和消化相關(guān)知識。
特別要注意要針對學(xué)生的實際情況設(shè)計作業(yè)。兼顧各類學(xué)生的不同需要和接受能力，盡量給學(xué)生提供更多的發(fā)展余地，提倡分層布置作業(yè)，把作業(yè)劃分為：基礎(chǔ)知識訓(xùn)練、擴展知識應(yīng)用、問題解決三個層次。著眼于中職數(shù)學(xué)教學(xué)的實際，通過“低起點、巧銜接”力求實現(xiàn)學(xué)生樂于學(xué)；遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，降低知識的起點，由淺入深，既關(guān)注與初中數(shù)學(xué)知識的銜接，又兼顧與專業(yè)課程內(nèi)容的銜接，使學(xué)生接受起來容易一些，做起來方便一些。
三、注重趣味性，有意識培養(yǎng)學(xué)生的價值觀和人文精神
“興趣是最好的老師”，要讓學(xué)生喜歡做作業(yè)，并相信自己能做好作業(yè)，應(yīng)注意作業(yè)時間不宜過長、作業(yè)量不宜過大。教師應(yīng)將傳統(tǒng)意義上的作業(yè)加以改選，使其有一定的主體性和情境性，根據(jù)不同的年級、不同的內(nèi)容，將作業(yè)融于各種形式之中。如：①開展課外閱讀、撰寫數(shù)學(xué)論文，培養(yǎng)學(xué)生研究數(shù)學(xué)的興趣和能力；②引導(dǎo)學(xué)生進行家庭小實驗、自制數(shù)學(xué)教具、編輯數(shù)學(xué)小報等培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實踐能力。另外，在新教材的 “閱讀空間” 中，有許多內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)史料及數(shù)學(xué)在現(xiàn)代生活中的應(yīng)用等知識，既通俗易懂又生動有趣，開闊學(xué)生的眼界、提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生價值觀和人文精神，也可作為布置作業(yè)的對象。
四、注重開放性、體現(xiàn)合作性，突出數(shù)學(xué)與現(xiàn)代信息技術(shù)的結(jié)合
讓學(xué)生在開放性的學(xué)習(xí)環(huán)境中，進行各種探究活動，發(fā)現(xiàn)知識、掌握技能，激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的思維能力，盡量給學(xué)生提供更多的發(fā)展余地。遵從“面向全體、發(fā)展個性；手腦并用、強化活動；聯(lián)系實際、注重實踐；改變環(huán)境、拓展空間” 的原則。
新課程改革綱要指出，學(xué)生的合作精神與能力是重要的培養(yǎng)目標(biāo)之一。開放性的專業(yè)課程，使大量的作業(yè)已不再是個人能完成的，需要與社區(qū)、家庭以及他人協(xié)同合作。要設(shè)計一些探究性作業(yè)，作業(yè)過程需要學(xué)生密切合作。生生合作、師生合作、親子合作成為一種行之有效的完成作業(yè)的方式之一。
隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)手段、教學(xué)方法也在不斷的更新，數(shù)學(xué)與信息技術(shù)結(jié)合，可培養(yǎng)學(xué)生的計算能力和數(shù)據(jù)處理能力。可以把它落實在假期作業(yè)的布置上，可考慮通過數(shù)學(xué)建模來嘗試完成。
總之，在今日“作業(yè)觀”中，教師必須以飽滿的激情投入教學(xué)，用對學(xué)生的關(guān)心、對知識的酷愛、對教學(xué)的責(zé)任感、積極向上和豐富的情感去感染學(xué)生，激起學(xué)生的情感體驗，把教學(xué)中非常重要的一個環(huán)節(jié)――作業(yè)搞好。
1 學(xué)習(xí)力及數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力
“學(xué)習(xí)力”一詞最早來源于管理學(xué)領(lǐng)域，多以“組織學(xué)習(xí)力”、“學(xué)習(xí)型組織”出現(xiàn)，它反映了組織作為一個整體對各種內(nèi)外信息的認(rèn)知與反應(yīng)的能力[2].以學(xué)習(xí)力、學(xué)習(xí)能力、learning power、learning ability、learning capacity等為關(guān)鍵詞搜索相關(guān)文獻后發(fā)現(xiàn)，對學(xué)習(xí)力理論的系統(tǒng)研究主要以國外文獻為主，尤其英國相關(guān)較為突出；而國內(nèi)文獻較少，目前還沒有形成系統(tǒng)研究.學(xué)術(shù)界普遍認(rèn)為學(xué)習(xí)力是一種綜合的、復(fù)雜的能力，研究主要圍繞概念、內(nèi)涵、構(gòu)成要素、應(yīng)用（提升策略等）進行.裴娣娜教授及其研究團隊分析、提取出學(xué)習(xí)力六大要素[3]，它們分別是：知識與經(jīng)驗、策略與反思、意志與進取、實踐與活動、協(xié)作與交往、批判與創(chuàng)新；并提出了學(xué)習(xí)力的三層次六要素結(jié)構(gòu)模型（如圖1所示）.
數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，數(shù)學(xué)的運作在于“思維”，人腦對數(shù)學(xué)對象的思考是思維運作.數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的學(xué)與教.數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵之一是處理好理解與記憶之間的關(guān)系，特別是，理解應(yīng)當(dāng)被看成熟練掌握各種算法的一個必要前提.數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力的核心是思維、數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)習(xí)力，就是促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.而數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力由一般學(xué)習(xí)力和數(shù)學(xué)學(xué)科特有的學(xué)習(xí)力兩部分組成，其中數(shù)學(xué)學(xué)科特有的學(xué)習(xí)力又由數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力等成分組成.
數(shù)學(xué)能力包含很多內(nèi)容，在數(shù)學(xué)學(xué)科課程中，需要重點培養(yǎng)學(xué)生抽象與概括、運算與推理、作圖與想象、統(tǒng)計與分析、建模與解釋等五組能力（學(xué)科核心素養(yǎng)）.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力主要包括經(jīng)驗與舊知、問題與活動、思想與方法、觀念與態(tài)度、調(diào)控與反思等五組內(nèi)容.數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的成分有質(zhì)疑與批判、推廣與引申、聯(lián)系與貫通等.
具體結(jié)構(gòu)詳見下圖2.
2 數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)的構(gòu)建
為貫徹落實《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要》，優(yōu)化育人模式，推進普通高色化多樣化發(fā)展，提高普通高中教育質(zhì)量和辦學(xué)水平，加快教育現(xiàn)代化建設(shè)，浙江省制定了深化普通高中課程改革方案，并于2012年秋季在全省普通高中全面實施，主要內(nèi)容可以概括為“調(diào)結(jié)構(gòu)、減總量、??方法、改評價、創(chuàng)條件”，為“普通高中分層走班，學(xué)生自主選課”創(chuàng)造了有利條件.同時作為全國兩個高考綜合改革試點之一，浙江省于2014年9月19日了“新高考方案”，將采用統(tǒng)一高考招生、高職自主招生、單獨考試招生、“三位一體”招生等四種模式，考生可根據(jù)實際情況，從中選擇適合自己的模式.該方案將從2014年秋季新入學(xué)的高一學(xué)生開始實施.在此背景下，浙江省各個普通高中積極探索學(xué)校課程的頂層設(shè)計，以及具體的教學(xué)安排.2.1 基于數(shù)學(xué)思維的課程分層分類
學(xué)校課程需要有一個頂層設(shè)計，在此之下，各學(xué)科課程結(jié)構(gòu)體系需有一個核心主題詞.同一學(xué)科，不同學(xué)校可有不同的主題詞.比如，數(shù)學(xué)學(xué)科課程結(jié)構(gòu)可用數(shù)學(xué)思維作為統(tǒng)領(lǐng)，進行分層分類、縱橫交錯搭建數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu).
其中的“分層”，具體可分為三層：（1）基礎(chǔ)課程：針對學(xué)困生和一般學(xué)生，注重數(shù)學(xué)思維引領(lǐng)；（2）榮譽課程：針對中等生，注重數(shù)學(xué)思維提升；（3）挑戰(zhàn)課程：針對資優(yōu)生，注重數(shù)學(xué)思維突破.此外，可針對基礎(chǔ)特別差的學(xué)困生，還可以設(shè)計輔弱課程（或稱為補差課程），注重數(shù)學(xué)思維體驗，作為第四層.
其中的“分類”，具體可分為三類：（1）基礎(chǔ)類課程：面向全體學(xué)生，主要關(guān)注知識基礎(chǔ)，當(dāng)然也有思想方法的基礎(chǔ)，注重扎實度，注重數(shù)學(xué)思維引領(lǐng)；（2）拓展類課程：面向部分學(xué)生，主要關(guān)注思維的拓展，當(dāng)然也有知識的拓展，注重廣度，注重數(shù)學(xué)思維提升；（3）研究、特長類課程：面向個體學(xué)生，主要關(guān)注能力的提升，注重高度和深度，注重數(shù)學(xué)思維突破.
還可以有不同的分類，比如按照學(xué)生生涯規(guī)劃方向，分為理工方向、社會方向、人文方向和藝術(shù)方向等類，分別提供不同的數(shù)學(xué)選修課程.
2.2 基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的課程結(jié)構(gòu)構(gòu)建和實踐應(yīng)用
基于課程改革的背景，為了發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的課程結(jié)構(gòu)構(gòu)建亟待進行.除了教育部門規(guī)定的必修課程和限定先修課外，我們還需給學(xué)生提供多種選修課程.同時，基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的課程結(jié)構(gòu)構(gòu)建需要從不同認(rèn)知水平學(xué)生、課程類別和課程指向等三個維度進行構(gòu)建，可構(gòu)成3×3×3共27個課程定位的課程結(jié)構(gòu).第1維“學(xué)生水平”維度，可分為學(xué)困生、中等生和資優(yōu)生等3類學(xué)生；第2維“課程類別”維度，可分為基礎(chǔ)類、拓展類和研究類等3類課程；第3維“能力指向”維度，可分為指向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力要素的3類課程.
第1維主要影響課程內(nèi)容的難易，第2維主要影響課程內(nèi)容的屬性，第3維主要影響課程內(nèi)容的目標(biāo).基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的課程結(jié)構(gòu)構(gòu)建，關(guān)鍵在于第3維，以下就第3維“課程指向”維度進行展開說明.
指向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的課程，也就是指向?qū)W生經(jīng)驗與舊知、問題與活動、思想與方法、調(diào)控與反思、觀念與態(tài)度等五組學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)課程.指向?qū)W生經(jīng)驗與舊知、問題與活動方面，例如《數(shù)學(xué)與生活》（《生活中的數(shù)學(xué)》）、《數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用》等課程；指向?qū)W生思想與方法、調(diào)控與反思方面，例如《高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)》、《數(shù)學(xué)思維方法》等課程；指向?qū)W生觀念與態(tài)度方面，例如《數(shù)學(xué)文化》、《民俗數(shù)學(xué)》等課程.
指向數(shù)學(xué)能力的課程，也就是指向?qū)W生抽象與概括、運算與推理、作圖與想象、統(tǒng)計與分析、建模與解釋等五組能力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)課程.指向?qū)W生抽象與概括、運算與推理方面，例如《組合數(shù)學(xué)》、《數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練》等課程；指向?qū)W生作圖與想象方面，例如《數(shù)學(xué)與建筑》、《數(shù)學(xué)與工藝美術(shù)設(shè)計》、《數(shù)學(xué)與模具制作》等課程；指向?qū)W生統(tǒng)計與分析、建模與解釋方面，例如《統(tǒng)計初步》、《數(shù)學(xué)建模》等課程.
指向數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的課程，也就是指向質(zhì)疑與批判、推廣與引申、聯(lián)系與貫通等能力的數(shù)學(xué)課程.指向?qū)W生質(zhì)疑與批判方面，例如《數(shù)學(xué)悖論》等課程；指向?qū)W生推廣與引申方面，例如《初等數(shù)學(xué)研究》等課程；指向?qū)W生聯(lián)系與貫通方面，例如《數(shù)學(xué)論文寫作》等課程.
對于第1維和第2維進行橫縱分列，將第3維進行內(nèi)部滲透，可搭建出“基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的三維數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)”參考（如下表1）.
3 進一步的思考
3.1 學(xué)教育應(yīng)多元化發(fā)展
在全面實施素質(zhì)教育和提高全民族的科學(xué)文化素?|為宗旨的新課程改革中，我們的基礎(chǔ)教育應(yīng)當(dāng)走出精英化誤區(qū)[4].在新課程改革中，著眼于未來人才的教育培養(yǎng)，應(yīng)該清晰地認(rèn)識未來社會的多元化需求.未來社會是知識經(jīng)濟高速發(fā)展的多元化時代，亟需的是具有較強學(xué)習(xí)力的多元化創(chuàng)新人才.數(shù)學(xué)教育應(yīng)該多元化發(fā)展，在學(xué)校教育以及學(xué)科教學(xué)中，應(yīng)該時刻秉承這一思想.以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)力為首要任務(wù)，培養(yǎng)多元化具有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的學(xué)生（數(shù)學(xué)成績不一定要好），讓學(xué)生有潛力成為未來社會某個領(lǐng)域（也可以是文科領(lǐng)域）中的人才.
3.2 抵制考試和考試文化的過度影響
